Номер 37, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 37, страница 85.

Условие.

Самостоятельная работа № 37

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

1. Решите уравнение:

1) $ \frac{3x^2 - 5x}{x^2 - 16} = \frac{3x + 16}{x^2 - 16} $

2) $ \frac{2x + 5}{x + 1} = \frac{4x + 7}{x + 3} $

3) $ \frac{x - 3}{x - 4} - \frac{2}{x + 3} = \frac{3x - 5}{(x - 4)(x + 3)} $

2. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$ \frac{x^2 - 6x + 8}{x - a} = 0. $

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$ \frac{x^2 - (a + 4)x + 5a - 5}{\sqrt{x - 4}} = 0 $ имеет единственное решение?

Решение.

1) $\frac{3x^2 - 5x}{x^2 - 16} = \frac{3x + 16}{x^2 - 16}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 - 16 \neq 0 \implies (x-4)(x+4) \neq 0 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Поскольку знаменатели дробей равны, мы можем приравнять их числители:

$3x^2 - 5x = 3x + 16$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 5x - 3x - 16 = 0$

$3x^2 - 8x - 16 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-8) + 16}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 16}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-(-8) - 16}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 16}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

2) $\frac{2x + 5}{x + 1} = \frac{4x + 7}{x + 3}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$(2x + 5)(x + 3) = (4x + 7)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x^2 + 6x + 5x + 15 = 4x^2 + 4x + 7x + 7$

$2x^2 + 11x + 15 = 4x^2 + 11x + 7$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - 2x^2 + 11x - 11x + 7 - 15 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Оба корня, $2$ и $-2$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -3$).

Ответ: $2; -2$.

3) $\frac{x - 3}{x - 4} - \frac{2}{x + 3} = \frac{3x - 5}{(x - 4)(x + 3)}$

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$ и $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Общий знаменатель дробей равен $(x-4)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$(x - 3)(x + 3) - 2(x - 4) = 3x - 5$

Раскроем скобки и упростим:

$(x^2 - 9) - (2x - 8) = 3x - 5$

$x^2 - 9 - 2x + 8 = 3x - 5$

$x^2 - 2x - 1 = 3x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 3x - 1 + 5 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -3$).

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

2. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение $\frac{x^2 - 6x + 8}{x - a} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни этого уравнения:

$x_1 = 2$, $x_2 = 4$

2. Учтем условие, что знаменатель не равен нулю:

$x - a \neq 0 \implies x \neq a$

Корни числителя, $2$ и $4$, будут являться решениями исходного уравнения только в том случае, если они не равны $a$.

Рассмотрим возможные случаи:

Если $a = 2$, то корень $x_1 = 2$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. В этом случае решением уравнения будет только $x = 4$.

Если $a = 4$, то корень $x_2 = 4$ является посторонним. Решением будет только $x = 2$.

Если $a \neq 2$ и $a \neq 4$, то оба корня числителя, $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$, удовлетворяют условию $x \neq a$. В этом случае уравнение имеет два решения.

Ответ: если $a=2$, то $x=4$; если $a=4$, то $x=2$; если $a \neq 2$ и $a \neq 4$, то $x_1=2, x_2=4$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^2 - (a + 4)x + 5a - 5}{\sqrt{x - 4}} = 0$ имеет единственное решение?

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a + 4)x + 5a - 5 = 0, \\ \sqrt{x - 4} \neq 0 \end{cases}$

Условие на знаменатель $\sqrt{x-4} \neq 0$ означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$x - 4 > 0 \implies x > 4$. Это ОДЗ уравнения.

Теперь решим квадратное уравнение из числителя: $x^2 - (a + 4)x + 5a - 5 = 0$.

Найдем его дискриминант:

$D = (-(a+4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a-5) = a^2 + 8a + 16 - 20a + 20 = a^2 - 12a + 36 = (a-6)^2$.

Дискриминант всегда неотрицателен ($D \geq 0$), значит, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни:

$x = \frac{a+4 \pm \sqrt{(a-6)^2}}{2} = \frac{a+4 \pm (a-6)}{2}$

$x_1 = \frac{a+4 + a-6}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

$x_2 = \frac{a+4 - (a-6)}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Исходное уравнение будет иметь единственное решение, если только один из этих корней удовлетворяет условию $x > 4$.

Корень $x_2 = 5$ всегда удовлетворяет условию $5 > 4$.

Рассмотрим два случая, когда решение будет единственным.

Случай 1: Корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, и этот корень больше 4.

$x_1 = x_2 \implies a-1 = 5 \implies a = 6$.

При $a=6$ уравнение имеет один корень $x=5$. Так как $5 > 4$, это значение $a$ нам подходит.

Случай 2: Корни $x_1$ и $x_2$ различны, но только один из них удовлетворяет ОДЗ $x > 4$.

Так как корень $x_2 = 5$ всегда удовлетворяет ОДЗ, нам нужно, чтобы корень $x_1 = a-1$ не удовлетворял ОДЗ.

Условие, что $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ, выглядит так: $a-1 \le 4$.

Решая это неравенство, получаем $a \le 5$.

При $a \le 5$ корень $x_1$ не входит в ОДЗ, а корень $x_2=5$ входит. При этом, если $a < 6$, корни $x_1$ и $x_2$ различны. Значит, при $a \le 5$ уравнение имеет единственное решение $x=5$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a \le 5$ или при $a=6$.

Ответ: $a \in (-\infty, 5] \cup \{6\}$.