Номер 33, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 33, страница 83.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Квадратные уравнения. Решение неполных

квадратных уравнений

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 15x = 0;$

2) $8x^2 - 40 = 0;$

3) $x^2 + 81 = 0.$

2. При каком значении параметра $a$ число 4 является корнем уравнения $x^2 - ax - 28 = 0?$

3. Решите уравнение:

1) $(5x - 3)^2 - 3(3 + 4x) = 0;$

2) $x^2 - 7|x| = 0;$

3) $x^2 + 3|x| - 8x = 0.$

4. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (a^2 + 3a)x - 2 - 3a = 0$ являются противоположными числами?

Решение.

1)

В уравнении $x^2 + 15x = 0$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 15) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$x = 0$ или $x + 15 = 0$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -15$.

Ответ: $0; -15$.

2)

В уравнении $8x^2 - 40 = 0$ перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x^2$:

$8x^2 = 40$

$x^2 = \frac{40}{8}$

$x^2 = 5$

Извлекая квадратный корень, получаем два корня:

$x = \pm\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}; -\sqrt{5}$.

3)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 81 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -81$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

---

2.

Если число 4 является корнем уравнения $x^2 - ax - 28 = 0$, то при подстановке $x = 4$ в уравнение должно получиться верное равенство.

Подставим $x = 4$:

$4^2 - a \cdot 4 - 28 = 0$

$16 - 4a - 28 = 0$

$-12 - 4a = 0$

Перенесем $-12$ в правую часть:

$-4a = 12$

Разделим обе части на -4:

$a = \frac{12}{-4}$

$a = -3$

Ответ: $-3$.

---

1)

Решим уравнение $(5x - 3)^2 - 3(3 + 4x) = 0$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:

$(25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2) - (9 + 12x) = 0$

$25x^2 - 30x + 9 - 9 - 12x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$25x^2 - 42x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(25x - 42) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $25x - 42 = 0$.

Из второго уравнения находим $x$: $25x = 42 \implies x = \frac{42}{25}$.

Ответ: $0; \frac{42}{25}$.

2)

Решим уравнение $x^2 - 7|x| = 0$.

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:

$|x|^2 - 7|x| = 0$

Вынесем $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 7) = 0$

Это равенство выполняется, если:

$|x| = 0$ или $|x| - 7 = 0$.

Из $|x| = 0$ следует $x = 0$.

Из $|x| = 7$ следует $x = 7$ или $x = -7$.

Ответ: $-7; 0; 7$.

3)

Решим уравнение $x^2 + 3|x| - 8x = 0$.

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 3x - 8x = 0$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 3(-x) - 8x = 0$

$x^2 - 3x - 8x = 0$

$x^2 - 11x = 0$

$x(x - 11) = 0$

Получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 11$. Ни один из них не удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя результаты, полученные в первом случае, получаем итоговые корни.

Ответ: $0; 5$.

---

4.

Корни уравнения $x^2 + (a^2 + 3a)x - 2 - 3a = 0$ являются противоположными числами, если их сумма равна нулю.

По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равна $x_1 + x_2 = -p$.

В данном уравнении коэффициент $p = a^2 + 3a$.

Условие $x_1 + x_2 = 0$ означает, что $-(a^2 + 3a) = 0$, или $a^2 + 3a = 0$.

Решим это уравнение относительно $a$:

$a(a + 3) = 0$

Возможные значения параметра: $a_1 = 0$, $a_2 = -3$.

Для существования действительных корней дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Если корни противоположны и ненулевые ($x_1 = k, x_2 = -k$), их произведение $x_1x_2 = -k^2$ должно быть отрицательным. Если оба корня равны нулю, их произведение равно нулю. Таким образом, произведение корней должно быть неположительным: $x_1x_2 \le 0$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1x_2$ равно свободному члену $q = -2 - 3a$.

Получаем условие: $-2 - 3a \le 0$.

$-3a \le 2$

$a \ge -\frac{2}{3}$

Проверим найденные значения $a$:

1. При $a = 0$: $0 \ge -\frac{2}{3}$. Условие выполняется. Уравнение принимает вид $x^2 - 2 = 0$, его корни $x = \pm\sqrt{2}$ являются противоположными числами.

2. При $a = -3$: $-3 < -\frac{2}{3}$. Условие не выполняется. Уравнение принимает вид $x^2 + 7 = 0$ и не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=0$.

Ответ: $0$.