Номер 33, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 33, страница 83.
№33 (с. 83)
Условие. №33 (с. 83)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 33
Квадратные уравнения. Решение неполных
квадратных уравнений
1. Решите уравнение:
1) $x^2 + 15x = 0;$
2) $8x^2 - 40 = 0;$
3) $x^2 + 81 = 0.$
2. При каком значении параметра $a$ число 4 является корнем уравнения $x^2 - ax - 28 = 0?$
3. Решите уравнение:
1) $(5x - 3)^2 - 3(3 + 4x) = 0;$
2) $x^2 - 7|x| = 0;$
3) $x^2 + 3|x| - 8x = 0.$
4. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (a^2 + 3a)x - 2 - 3a = 0$ являются противоположными числами?
Решение. №33 (с. 83)
1)
В уравнении $x^2 + 15x = 0$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 15) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x + 15 = 0$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -15$.
Ответ: $0; -15$.
2)
В уравнении $8x^2 - 40 = 0$ перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x^2$:
$8x^2 = 40$
$x^2 = \frac{40}{8}$
$x^2 = 5$
Извлекая квадратный корень, получаем два корня:
$x = \pm\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}; -\sqrt{5}$.
3)
Рассмотрим уравнение $x^2 + 81 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = -81$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.
2.
Если число 4 является корнем уравнения $x^2 - ax - 28 = 0$, то при подстановке $x = 4$ в уравнение должно получиться верное равенство.
Подставим $x = 4$:
$4^2 - a \cdot 4 - 28 = 0$
$16 - 4a - 28 = 0$
$-12 - 4a = 0$
Перенесем $-12$ в правую часть:
$-4a = 12$
Разделим обе части на -4:
$a = \frac{12}{-4}$
$a = -3$
Ответ: $-3$.
1)
Решим уравнение $(5x - 3)^2 - 3(3 + 4x) = 0$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:
$(25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2) - (9 + 12x) = 0$
$25x^2 - 30x + 9 - 9 - 12x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 42x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(25x - 42) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $25x - 42 = 0$.
Из второго уравнения находим $x$: $25x = 42 \implies x = \frac{42}{25}$.
Ответ: $0; \frac{42}{25}$.
2)
Решим уравнение $x^2 - 7|x| = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:
$|x|^2 - 7|x| = 0$
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 7) = 0$
Это равенство выполняется, если:
$|x| = 0$ или $|x| - 7 = 0$.
Из $|x| = 0$ следует $x = 0$.
Из $|x| = 7$ следует $x = 7$ или $x = -7$.
Ответ: $-7; 0; 7$.
3)
Решим уравнение $x^2 + 3|x| - 8x = 0$.
Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + 3x - 8x = 0$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + 3(-x) - 8x = 0$
$x^2 - 3x - 8x = 0$
$x^2 - 11x = 0$
$x(x - 11) = 0$
Получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 11$. Ни один из них не удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя результаты, полученные в первом случае, получаем итоговые корни.
Ответ: $0; 5$.
4.
Корни уравнения $x^2 + (a^2 + 3a)x - 2 - 3a = 0$ являются противоположными числами, если их сумма равна нулю.
По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равна $x_1 + x_2 = -p$.
В данном уравнении коэффициент $p = a^2 + 3a$.
Условие $x_1 + x_2 = 0$ означает, что $-(a^2 + 3a) = 0$, или $a^2 + 3a = 0$.
Решим это уравнение относительно $a$:
$a(a + 3) = 0$
Возможные значения параметра: $a_1 = 0$, $a_2 = -3$.
Для существования действительных корней дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Если корни противоположны и ненулевые ($x_1 = k, x_2 = -k$), их произведение $x_1x_2 = -k^2$ должно быть отрицательным. Если оба корня равны нулю, их произведение равно нулю. Таким образом, произведение корней должно быть неположительным: $x_1x_2 \le 0$.
По теореме Виета, произведение корней $x_1x_2$ равно свободному члену $q = -2 - 3a$.
Получаем условие: $-2 - 3a \le 0$.
$-3a \le 2$
$a \ge -\frac{2}{3}$
Проверим найденные значения $a$:
1. При $a = 0$: $0 \ge -\frac{2}{3}$. Условие выполняется. Уравнение принимает вид $x^2 - 2 = 0$, его корни $x = \pm\sqrt{2}$ являются противоположными числами.
2. При $a = -3$: $-3 < -\frac{2}{3}$. Условие не выполняется. Уравнение принимает вид $x^2 + 7 = 0$ и не имеет действительных корней.
Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=0$.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 33 расположенного на странице 83 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №33 (с. 83), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.