Номер 28, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 28, страница 80.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Множество действительных чисел

1. Верно ли утверждение:

1) $-6,3 \in N$;

2) $\sqrt{10} \notin Q$;

3) $\sqrt{10} \in R$;

4) $\sqrt{64} \in Z$?

2. Сравните числа:

1) $\frac{4}{9}$ и 0,44;

2) 4,(35) и 4,35;

3) -5,(43) и -5,43;

4) 8,73... и 8,74...

3. Найдите все рациональные числа $m$ и $n$ такие, что

$(\sqrt{5}-3)^2 = m+n\sqrt{5}$.

4. Докажите, что число $\sqrt{10}$ является иррациональным.

Решение.

1) Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$. Число $-6,3$ является отрицательным и дробным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q \neq 0$. Число $10$ не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Иррациональные числа не принадлежат множеству рациональных чисел. Утверждение, что $\sqrt{10}$ не принадлежит $Q$, верно.
Ответ: верно.

3) Множество действительных чисел $R$ включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Поскольку $\sqrt{10}$ является иррациональным числом, оно принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: верно.

4) Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль $(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots)$. $\sqrt{64} = 8$. Число $8$ является целым числом. Следовательно, $\sqrt{64}$ принадлежит множеству целых чисел. Утверждение верно.
Ответ: верно.

1) Чтобы сравнить числа, представим обыкновенную дробь в виде десятичной: $\frac{4}{9} = 4 \div 9 = 0,444... = 0,(4)$. Сравниваем $0,(4)$ и $0,44$. Так как в разряде тысячных у первого числа стоит $4$, а у второго $0$ (поскольку $0,44 = 0,440$), то $0,(4) > 0,44$.
Ответ: $\frac{4}{9} > 0,44$.

2) Число $4,(35)$ — это периодическая дробь $4,353535...$. Число $4,35$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $4,350000...$. Сравнивая по разрядам, видим, что в разряде тысячных у первого числа стоит $3$, а у второго $0$. Следовательно, $4,(35) > 4,35$.
Ответ: $4,(35) > 4,35$.

3) Сначала сравним модули этих чисел: $|-5,(43)| = 5,(43) = 5,4343...$ и $|-5,43| = 5,43 = 5,4300...$. Так как $5,4343... > 5,4300...$, то из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Следовательно, $-5,(43) < -5,43$.
Ответ: $-5,(43) < -5,43$.

4) Сравниваем числа поразрядно, начиная со старшего разряда. Целые части и десятые доли у чисел совпадают ($8,7...$). В разряде сотых у первого числа стоит $3$, а у второго $4$. Так как $3 < 4$, то первое число меньше второго, независимо от последующих цифр.
Ответ: $8,73... < 8,74...$.

3. Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}-3)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 5 - 6\sqrt{5} + 9 = 14 - 6\sqrt{5}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного уравнения:
$14 - 6\sqrt{5} = m + n\sqrt{5}$.
Поскольку $m$ и $n$ — рациональные числа, а $\sqrt{5}$ — иррациональное, равенство возможно только в том случае, если равны рациональные и иррациональные части обоих выражений. Приравниваем рациональные части: $m = 14$. Приравниваем коэффициенты при иррациональных частях: $n = -6$.
Ответ: $m = 14, n = -6$.

4. Докажем методом от противного. Предположим, что число $\sqrt{10}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$, $q \in N$.
$\sqrt{10} = \frac{p}{q}$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$10 = (\frac{p}{q})^2$
$10 = \frac{p^2}{q^2}$
$p^2 = 10q^2$
Из этого равенства следует, что $p^2$ делится нацело на $10$. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то $p^2$ делится на простые числа $2$ и $5$. Если квадрат целого числа делится на простое число, то и само число делится на это простое число. Следовательно, $p$ делится на $2$ и на $5$, а значит, $p$ делится на $10$.
Представим $p$ в виде $p = 10k$, где $k \in Z$. Подставим это в уравнение $p^2 = 10q^2$:
$(10k)^2 = 10q^2$
$100k^2 = 10q^2$
Разделим обе части на $10$:
$10k^2 = q^2$
Из этого равенства следует, что $q^2$ делится на $10$, а значит и $q$ делится на $10$.
Получается, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на $10$. Но это противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Следовательно, наше предположение неверно, и число $\sqrt{10}$ не является рациональным, то есть оно иррационально. Что и требовалось доказать.
Ответ: доказано.