Номер 36, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 36, страница 84.

Условие.

Самостоятельная работа № 36

Квадратный трёхчлен

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $-x^2 + 4x + 12$;

2) $2a^2 + 9a - 18$.

2. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - x - 12}{x + 3}$;

2) $\frac{4x^2 + 28x + 49}{2x^2 + 5x - 7}$.

3. Упростите выражение:

$\frac{5a^2 - 20}{5a^2 - 22a + 8} \cdot \frac{4 - a}{a - 2} - \frac{12}{2 - 5a}$.

4. Решите неравенство:

1) $5x^2 - 3x + 4 > 0$;

2) $(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 4x + 9) \ge 0$.

5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-2x^2 + ax - 10$ содержит множитель $x + 5$?

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $14x^2 + 9xy + y^2 = 0$.

Решение.

1.

1) Разложим на множители квадратный трёхчлен $-x^2 + 4x + 12$.

Для этого приравняем его к нулю и найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $-x^2 + 4x + 12 = 0$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы получить приведённое уравнение: $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

Разложение квадратного трёхчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае $a = -1$.

$-x^2 + 4x + 12 = -1(x - 6)(x - (-2)) = -(x-6)(x+2) = (6-x)(x+2)$.

Ответ: $-(x-6)(x+2)$ или $(6-x)(x+2)$.

2) Разложим на множители квадратный трёхчлен $2a^2 + 9a - 18$.

Найдем корни уравнения $2a^2 + 9a - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$.

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6$.

Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае коэффициент $a = 2$.

$2a^2 + 9a - 18 = 2(a - 1.5)(a - (-6)) = 2(a - 1.5)(a+6) = (2a - 3)(a+6)$.

Ответ: $(2a-3)(a+6)$.

2.

1) Сократим дробь $\frac{x^2 - x - 12}{x + 3}$.

Разложим числитель $x^2 - x - 12$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корнями являются числа $4$ и $-3$.

Следовательно, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x-(-3)) = (x-4)(x+3)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(x-4)(x+3)}{x + 3}$.

Сокращаем на $(x+3)$, при условии что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Получаем $x-4$.

Ответ: $x-4$.

2) Сократим дробь $\frac{4x^2 + 28x + 49}{2x^2 + 5x - 7}$.

Числитель $4x^2 + 28x + 49$ является полным квадратом: $(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = (2x+7)^2$.

Разложим знаменатель $2x^2 + 5x - 7$ на множители. Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 + 9}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$.

Знаменатель раскладывается как $2(x-1)(x+\frac{7}{2}) = (x-1)(2x+7)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2x+7)^2}{(x-1)(2x+7)}$.

Сокращаем на $(2x+7)$, при условии $x \neq -\frac{7}{2}$ и $x \neq 1$.

Получаем $\frac{2x+7}{x-1}$.

Ответ: $\frac{2x+7}{x-1}$.

3. Упростим выражение $\frac{5a^2 - 20}{5a^2 - 22a + 8} \cdot \frac{4 - a}{a - 2} - \frac{12}{2 - 5a}$.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

$5a^2 - 20 = 5(a^2 - 4) = 5(a-2)(a+2)$.

$5a^2 - 22a + 8$. Корни уравнения $5a^2 - 22a + 8 = 0$ равны $a_1=4$ и $a_2=\frac{2}{5}$. Значит, $5a^2 - 22a + 8 = 5(a-4)(a-\frac{2}{5}) = (a-4)(5a-2)$.

$4-a = -(a-4)$.

$2-5a = -(5a-2)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{5(a-2)(a+2)}{(a-4)(5a-2)} \cdot \frac{-(a-4)}{a - 2} - \frac{12}{-(5a-2)}$.

Выполним умножение, сократив $(a-2)$ и $(a-4)$ (при $a \neq 2$ и $a \neq 4$):

$\frac{5(a+2)}{5a-2} \cdot (-1) + \frac{12}{5a-2} = -\frac{5(a+2)}{5a-2} + \frac{12}{5a-2}$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-5(a+2) + 12}{5a-2} = \frac{-5a - 10 + 12}{5a-2} = \frac{-5a+2}{5a-2}$.

Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{-(5a-2)}{5a-2} = -1$.

Ответ: $-1$.

4.

1) Решим неравенство $5x^2 - 3x + 4 > 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 3x + 4$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 5 > 0$.

Найдем дискриминант соответствующего уравнения $5x^2 - 3x + 4 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 9 - 80 = -71$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox.

Следовательно, выражение $5x^2 - 3x + 4$ положительно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 4x + 9) \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Рассмотрим второй множитель $x^2 - 4x + 9$. Это квадратичный трёхчлен. Ветви параболы $y = x^2 - 4x + 9$ направлены вверх ($a=1>0$).

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.

Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox и полностью лежит выше неё. Это значит, что выражение $x^2 - 4x + 9$ всегда положительно для любого $x$.

Поскольку мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $x^2 - 4x + 9$, исходное неравенство равносильно следующему:

$\sqrt{x} - 4 \ge 0$.

$\sqrt{x} \ge 4$.

Возведем обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны):

$x \ge 16$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $[16; +\infty)$.

5.

Если разложение на множители трёхчлена $-2x^2 + ax - 10$ содержит множитель $(x+5)$, то это означает, что $x = -5$ является корнем уравнения $-2x^2 + ax - 10 = 0$.

Подставим значение $x = -5$ в уравнение:

$-2(-5)^2 + a(-5) - 10 = 0$.

$-2(25) - 5a - 10 = 0$.

$-50 - 5a - 10 = 0$.

$-60 - 5a = 0$.

$5a = -60$.

$a = -12$.

Ответ: при $a = -12$.

6.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $14x^2 + 9xy + y^2 = 0$.

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной $y$:

$y^2 + (9x)y + 14x^2 = 0$.

Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения, где коэффициенты зависят от $x$: $a=1, b=9x, c=14x^2$.

Найдем дискриминант:

$D = (9x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (14x^2) = 81x^2 - 56x^2 = 25x^2 = (5x)^2$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-9x + \sqrt{(5x)^2}}{2} = \frac{-9x + 5x}{2} = \frac{-4x}{2} = -2x$.

$y_2 = \frac{-9x - \sqrt{(5x)^2}}{2} = \frac{-9x - 5x}{2} = \frac{-14x}{2} = -7x$.

Таким образом, исходное равенство распадается на два линейных уравнения: $y = -2x$ или $y = -7x$.

Множество точек, удовлетворяющих этому равенству, представляет собой объединение двух прямых:

1. Прямая $y = -2x$. Проходит через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1, -2)$.

2. Прямая $y = -7x$. Проходит через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1, -7)$.

Графиком является пара прямых, пересекающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых, заданных уравнениями $y=-2x$ и $y=-7x$.