Номер 9, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 9, страница 71.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Умножение и деление рациональных дробей.

Возведение рациональной дроби в степень

1. Выполните умножение:

1) $ \frac{x^5y}{30z} \cdot \left(-\frac{5z}{xy^2}\right) $;

2) $ 28y^8 \cdot \frac{5x^4}{4y^3} $;

3) $ \frac{x^{n+3}y^{3n+4}}{z^{n+4}} \cdot \frac{z^{2n+4}}{x^n y^{3n+2}} $.

2. Выполните возведение в степень:

1) $ \left(-\frac{2x^3}{5y}\right)^4 $;

2) $ \left(-\frac{3x^4y^2}{4a^3b}\right)^3 $.

3. Выполните деление:

1) $ \frac{17x^3y^5}{12a^4b^2} : \left(-\frac{51xy^4}{28a^2b^3}\right) $;

2) $ \frac{56a^5b^3}{11c^2} : (14a^8b^2) $.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{5x^2 + 10x + 5}{x^3 - 27} \cdot \frac{4x^2 + 12x + 36}{15x + 15} $;

2) $ \frac{x^2 - 49y^2}{25x^2 - 9y^2} : \frac{x^2 + 14xy + 49y^2}{25x^2 - 30xy + 9y^2} $;

3) $ \frac{(x^n - 4y^n)^2 + 16x^n y^n}{x^2 - y^2} : \frac{x^{2n} - 16y^{2n}}{x+y} $.

5. Известно, что $ 4x - \frac{1}{x} = 2 $. Найдите значение выражения $ 16x^2 + \frac{1}{x^2} $.

Решение.

1) $\frac{x^5y}{30z} \cdot \left(-\frac{5z}{xy^2}\right) = -\frac{x^5y \cdot 5z}{30z \cdot xy^2} = -\frac{5x^5yz}{30xy^2z}$. Сократим числовые коэффициенты $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$. Затем сократим степени переменных: $\frac{x^5}{x} = x^{5-1} = x^4$; $\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$; $\frac{z}{z} = 1$. Собирая все вместе, получаем: $-\frac{1}{6} \cdot x^4 \cdot \frac{1}{y} = -\frac{x^4}{6y}$. Ответ: $-\frac{x^4}{6y}$

2) $28y^8 \cdot \frac{5x^4}{4y^3} = \frac{28y^8 \cdot 5x^4}{4y^3}$. Сокращаем числовые коэффициенты $\frac{28}{4} = 7$. Сокращаем степени переменной $y$: $\frac{y^8}{y^3} = y^{8-3}=y^5$. Перемножаем оставшиеся части: $7 \cdot 5x^4y^5 = 35x^4y^5$. Ответ: $35x^4y^5$

3) $\frac{x^{n+3}y^{3n+4}}{z^{n+4}} \cdot \frac{z^{2n+4}}{x^n y^{3n+2}} = \frac{x^{n+3}y^{3n+4}z^{2n+4}}{z^{n+4}x^n y^{3n+2}}$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$. Для $x$: $x^{(n+3)-n} = x^3$. Для $y$: $y^{(3n+4)-(3n+2)} = y^{3n+4-3n-2} = y^2$. Для $z$: $z^{(2n+4)-(n+4)} = z^{2n+4-n-4} = z^n$. В результате получаем $x^3y^2z^n$. Ответ: $x^3y^2z^n$

1) $\left(-\frac{2x^3}{5y}\right)^4$. Так как степень четная (4), отрицательный знак пропадает. Возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе: $\frac{(2x^3)^4}{(5y)^4} = \frac{2^4 \cdot (x^3)^4}{5^4 \cdot y^4} = \frac{16x^{12}}{625y^4}$. Ответ: $\frac{16x^{12}}{625y^4}$

2) $\left(-\frac{3x^4y^2}{4a^3b}\right)^3$. Так как степень нечетная (3), отрицательный знак сохраняется. Возводим в степень числитель и знаменатель: $-\frac{(3x^4y^2)^3}{(4a^3b)^3} = -\frac{3^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^2)^3}{4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot b^3} = -\frac{27x^{12}y^6}{64a^9b^3}$. Ответ: $-\frac{27x^{12}y^6}{64a^9b^3}$

1) $\frac{17x^3y^5}{12a^4b^2} : \left(-\frac{51xy^4}{28a^2b^3}\right)$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $\frac{17x^3y^5}{12a^4b^2} \cdot \left(-\frac{28a^2b^3}{51xy^4}\right) = -\frac{17 \cdot 28 \cdot x^3y^5a^2b^3}{12 \cdot 51 \cdot a^4b^2xy^4}$. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{17}{51}=\frac{1}{3}$ и $\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$. Сокращаем переменные: $\frac{x^3}{x} = x^2$, $\frac{y^5}{y^4} = y$, $\frac{a^2}{a^4} = \frac{1}{a^2}$, $\frac{b^3}{b^2} = b$. Собираем все вместе: $-\frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 3} \frac{x^2yb}{a^2} = -\frac{7bx^2y}{9a^2}$. Ответ: $-\frac{7bx^2y}{9a^2}$

2) $\frac{56a^5b^3}{11c^2} : (14a^8b^2) = \frac{56a^5b^3}{11c^2} \cdot \frac{1}{14a^8b^2} = \frac{56a^5b^3}{11 \cdot 14 \cdot c^2a^8b^2}$. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{56}{14} = 4$. Сокращаем переменные: $\frac{a^5}{a^8} = \frac{1}{a^3}$, $\frac{b^3}{b^2} = b$. Получаем: $\frac{4b}{11a^3c^2}$. Ответ: $\frac{4b}{11a^3c^2}$

1) $\frac{5x^2+10x+5}{x^3-27} \cdot \frac{4x^2+12x+36}{15x+15}$. Разложим на множители числители и знаменатели.
$5x^2+10x+5 = 5(x^2+2x+1) = 5(x+1)^2$.
$x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$ (разность кубов).
$4x^2+12x+36 = 4(x^2+3x+9)$.
$15x+15 = 15(x+1)$.
Подставляем разложения в исходное выражение: $\frac{5(x+1)^2}{(x-3)(x^2+3x+9)} \cdot \frac{4(x^2+3x+9)}{15(x+1)}$.
Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(x^2+3x+9)$: $\frac{5(x+1) \cdot 4}{15(x-3)} = \frac{20(x+1)}{15(x-3)} = \frac{4(x+1)}{3(x-3)}$. Ответ: $\frac{4(x+1)}{3(x-3)}$

2) $\frac{x^2-49y^2}{25x^2-9y^2} : \frac{x^2+14xy+49y^2}{25x^2-30xy+9y^2}$. Заменяем деление умножением на обратную дробь и раскладываем на множители.
$x^2-49y^2 = (x-7y)(x+7y)$ (разность квадратов).
$25x^2-9y^2 = (5x-3y)(5x+3y)$ (разность квадратов).
$x^2+14xy+49y^2 = (x+7y)^2$ (квадрат суммы).
$25x^2-30xy+9y^2 = (5x-3y)^2$ (квадрат разности).
Выражение принимает вид: $\frac{(x-7y)(x+7y)}{(5x-3y)(5x+3y)} \cdot \frac{(5x-3y)^2}{(x+7y)^2}$.
Сокращаем общие множители $(x+7y)$ и $(5x-3y)$: $\frac{(x-7y)(5x-3y)}{(5x+3y)(x+7y)}$. Ответ: $\frac{(x-7y)(5x-3y)}{(5x+3y)(x+7y)}$

3) $\frac{(x^n - 4y^n)^2 + 16x^n y^n}{x^2 - y^2} : \frac{x^{2n} - 16y^{2n}}{x+y}$.
Упростим числитель первой дроби: $(x^n - 4y^n)^2 + 16x^n y^n = (x^n)^2 - 2(x^n)(4y^n) + (4y^n)^2 + 16x^n y^n = x^{2n} - 8x^ny^n + 16y^{2n} + 16x^ny^n = x^{2n} + 8x^ny^n + 16y^{2n} = (x^n+4y^n)^2$.
Выполним деление, разложив знаменатели на множители: $\frac{(x^n+4y^n)^2}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x+y}{(x^n)^2-(4y^n)^2} = \frac{(x^n+4y^n)^2}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x+y}{(x^n-4y^n)(x^n+4y^n)}$.
Сокращаем общие множители $(x+y)$ и $(x^n+4y^n)$: $\frac{x^n+4y^n}{(x-y)(x^n-4y^n)}$. Ответ: $\frac{x^n+4y^n}{(x-y)(x^n-4y^n)}$

5. Дано, что $4x - \frac{1}{x} = 2$. Чтобы найти $16x^2 + \frac{1}{x^2}$, возведем обе части данного уравнения в квадрат.
$(4x - \frac{1}{x})^2 = 2^2$.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 4$.
$16x^2 - 8 + \frac{1}{x^2} = 4$.
Теперь выразим искомое выражение, перенеся $-8$ в правую часть:
$16x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 8$.
$16x^2 + \frac{1}{x^2} = 12$. Ответ: $12$