Номер 6, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 6, страница 69.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Основное свойство рациональной дроби

1. Сократите дробь:

1) $\frac{8x^2 - 2x}{3 - 12x}$;

2) $\frac{n^2 - 36}{n^2 + 12n + 36}$;

3) $\frac{y^7 - y^5}{y^2 - y^4}$;

4) $\frac{b^3 - 64}{5b - 20}$;

5) $\frac{bx + by - 4x - 4y}{b^2 - 16}$;

6) $\frac{(8d - 2c)^2}{c - 2d}$.

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $\frac{2}{3cd^2}$ и $\frac{1}{9d^6}$;

2) $\frac{3c}{4c + d}$ и $\frac{2d}{c - 2d}$;

3) $\frac{5d}{3c + d}$, $\frac{1}{9c^2 - d^2}$ и $\frac{2}{9c^2 + 6cd + d^2}$.

3. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$.

4. Решите уравнение $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 12$.

Решение.

1. Сократите дробь:

1)

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. В числителе вынесем за скобки $2x$, а в знаменателе $3$.
$8x^2 - 2x = 2x(4x - 1)$
$3 - 12x = 3(1 - 4x)$
Заметим, что выражения в скобках являются противоположными: $4x - 1 = -(1 - 4x)$.
$\frac{8x^2 - 2x}{3 - 12x} = \frac{2x(4x - 1)}{3(1 - 4x)} = \frac{2x(-(1 - 4x))}{3(1 - 4x)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 - 4x)$, при условии, что $x \neq \frac{1}{4}$.
$\frac{-2x}{3} = -\frac{2x}{3}$
Ответ: $-\frac{2x}{3}$.

2)

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а знаменатель — по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
$n^2 - 36 = n^2 - 6^2 = (n - 6)(n + 6)$
$n^2 + 12n + 36 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 6 + 6^2 = (n + 6)^2$
$\frac{n^2 - 36}{n^2 + 12n + 36} = \frac{(n - 6)(n + 6)}{(n + 6)^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(n + 6)$, при условии, что $n \neq -6$.
$\frac{n - 6}{n + 6}$
Ответ: $\frac{n - 6}{n + 6}$.

3)

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
$y^7 - y^5 = y^5(y^2 - 1)$
$y^2 - y^4 = y^2(1 - y^2)$
Заметим, что $y^2 - 1 = -(1 - y^2)$.
$\frac{y^7 - y^5}{y^2 - y^4} = \frac{y^5(y^2 - 1)}{y^2(1 - y^2)} = \frac{y^5(-(1 - y^2))}{y^2(1 - y^2)}$
Сократим дробь на $y^2(1 - y^2)$, при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq \pm 1$.
$\frac{-y^5}{y^2} = -y^{5-2} = -y^3$
Ответ: $-y^3$.

4)

Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В знаменателе вынесем общий множитель за скобки.
$b^3 - 64 = b^3 - 4^3 = (b - 4)(b^2 + 4b + 16)$
$5b - 20 = 5(b - 4)$
$\frac{b^3 - 64}{5b - 20} = \frac{(b - 4)(b^2 + 4b + 16)}{5(b - 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(b - 4)$, при условии, что $b \neq 4$.
$\frac{b^2 + 4b + 16}{5}$
Ответ: $\frac{b^2 + 4b + 16}{5}$.

5)

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки, в знаменателе — формулу разности квадратов.
$bx + by - 4x - 4y = (bx + by) - (4x + 4y) = b(x + y) - 4(x + y) = (b - 4)(x + y)$
$b^2 - 16 = (b - 4)(b + 4)$
$\frac{bx + by - 4x - 4y}{b^2 - 16} = \frac{(b - 4)(x + y)}{(b - 4)(b + 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(b - 4)$, при условии, что $b \neq 4$.
$\frac{x + y}{b + 4}$
Ответ: $\frac{x + y}{b + 4}$.

6)

В данном выражении $\frac{(8d - 2c)^2}{c - 2d}$ сложно найти общие множители для сокращения. Вероятно, в условии допущена опечатка. Предположим, что числитель должен быть $(4d - 2c)^2$. В этом случае решение будет следующим:
Вынесем общий множитель $2$ за скобки в числителе: $4d - 2c = 2(2d - c)$.
Тогда числитель равен $(2(2d - c))^2 = 4(2d - c)^2$.
Используем свойство $(a-b)^2 = (b-a)^2$, поэтому $(2d - c)^2 = (c - 2d)^2$.
$\frac{(4d - 2c)^2}{c - 2d} = \frac{4(c - 2d)^2}{c - 2d}$
Сократим дробь на $(c - 2d)$, при условии, что $c \neq 2d$.
$4(c - 2d) = 4c - 8d$
Ответ: $4(c - 2d)$.

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $\frac{2}{3cd^2}$ и $\frac{1}{9d^6}$

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $3cd^2$ и $9d^6$.
НОЗ для коэффициентов 3 и 9 равен 9.
НОЗ для переменных равен $cd^6$.
Таким образом, общий знаменатель равен $9cd^6$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{9cd^6}{3cd^2} = 3d^4$.
$\frac{2}{3cd^2} = \frac{2 \cdot 3d^4}{3cd^2 \cdot 3d^4} = \frac{6d^4}{9cd^6}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{9cd^6}{9d^6} = c$.
$\frac{1}{9d^6} = \frac{1 \cdot c}{9d^6 \cdot c} = \frac{c}{9cd^6}$.
Ответ: $\frac{6d^4}{9cd^6}$ и $\frac{c}{9cd^6}$.

2) $\frac{3c}{4c+d}$ и $\frac{2d}{c-2d}$

Знаменатели $(4c+d)$ и $(c-2d)$ не имеют общих множителей. Поэтому общим знаменателем будет их произведение: $(4c+d)(c-2d)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $(c-2d)$.
$\frac{3c}{4c+d} = \frac{3c(c-2d)}{(4c+d)(c-2d)} = \frac{3c^2 - 6cd}{(4c+d)(c-2d)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $(4c+d)$.
$\frac{2d}{c-2d} = \frac{2d(4c+d)}{(c-2d)(4c+d)} = \frac{8cd + 2d^2}{(4c+d)(c-2d)}$.
Ответ: $\frac{3c^2 - 6cd}{(4c+d)(c-2d)}$ и $\frac{8cd + 2d^2}{(4c+d)(c-2d)}$.

3) $\frac{5d}{3c+d}$, $\frac{1}{9c^2 - d^2}$ и $\frac{2}{9c^2 + 6cd + d^2}$

Сначала разложим знаменатели на множители:
$3c+d$ (уже разложен).
$9c^2 - d^2 = (3c)^2 - d^2 = (3c-d)(3c+d)$ (разность квадратов).
$9c^2 + 6cd + d^2 = (3c)^2 + 2(3c)d + d^2 = (3c+d)^2$ (квадрат суммы).
Наименьший общий знаменатель должен содержать каждый множитель в наивысшей степени, в которой он встречается: $(3c-d)(3c+d)^2$.
Приведем каждую дробь к этому знаменателю.
Для первой дроби $\frac{5d}{3c+d}$ дополнительный множитель: $(3c-d)(3c+d)$.
$\frac{5d(3c-d)(3c+d)}{(3c+d)(3c-d)(3c+d)} = \frac{5d(9c^2-d^2)}{(3c-d)(3c+d)^2} = \frac{45c^2d - 5d^3}{(3c-d)(3c+d)^2}$.
Для второй дроби $\frac{1}{(3c-d)(3c+d)}$ дополнительный множитель: $(3c+d)$.
$\frac{1 \cdot (3c+d)}{(3c-d)(3c+d)(3c+d)} = \frac{3c+d}{(3c-d)(3c+d)^2}$.
Для третьей дроби $\frac{2}{(3c+d)^2}$ дополнительный множитель: $(3c-d)$.
$\frac{2(3c-d)}{(3c+d)^2(3c-d)} = \frac{6c-2d}{(3c-d)(3c+d)^2}$.
Ответ: $\frac{45c^2d - 5d^3}{(3c-d)(3c+d)^2}$, $\frac{3c+d}{(3c-d)(3c+d)^2}$ и $\frac{6c-2d}{(3c-d)(3c+d)^2}$.

3. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.
Упростим выражение для функции. Числитель является полным квадратом суммы:
$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.
Тогда $y = \frac{(x+3)^2}{x+3}$.
При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$, получив $y = x+3$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = x+3$ за исключением одной точки.
Это прямая линия, из которой "выколота" точка, абсцисса которой равна $-3$.
Найдем ординату этой точки, подставив $x = -3$ в уравнение прямой: $y = -3 + 3 = 0$.
Координаты "выколотой" точки: $(-3, 0)$.
Для построения прямой $y = x+3$ найдем две любые точки, например: при $x=0$, $y=3$, точка $(0,3)$; при $x=1$, $y=4$, точка $(1,4)$.
Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней пустой кружок в точке $(-3, 0)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = x+3$ с выколотой точкой $(-3, 0)$.

4. Решите уравнение $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 12$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.
Разложим числитель левой части уравнения на множители по формуле разности квадратов:
$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.
Подставим это в уравнение:
$\frac{(x - 6)(x + 6)}{x - 6} = 12$.
На ОДЗ ($x \neq 6$) мы можем сократить дробь на $(x - 6)$:
$x + 6 = 12$.
Решим полученное линейное уравнение:
$x = 12 - 6$
$x = 6$.
Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли, что $x=6$, однако ОДЗ требует, чтобы $x \neq 6$.
Так как полученное значение $x=6$ не входит в область допустимых значений, оно является посторонним корнем. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.