Номер 3, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 3, страница 67.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Формулы включения-исключения.

Взаимно однозначное соответствие

1. Докажите, что количество трёхзначных чисел равно количеству пятизначных чисел, в записи которых первая и четвёртая цифры (считая слева направо) соответственно равны 5 и 9.

2. У каждого из 25 учащихся класса есть брат или сестра. У 17 учащихся есть брат, а у 13 учащихся — сестра. У скольких учеников этого класса есть и брат, и сестра?

Решение.

1. Докажите, что количество трёхзначных чисел равно количеству пятизначных чисел, в записи которых первая и четвёртая цифры (считая слева направо) соответственно равны 5 и 9.

Для доказательства этого утверждения мы можем либо напрямую подсчитать количество чисел в обеих группах, либо установить между ними взаимно однозначное соответствие (биекцию).

Способ 1: Прямой подсчёт.

Сначала подсчитаем количество всех трёхзначных чисел. Трёхзначное число имеет вид $\overline{d_1d_2d_3}$.

• Первая цифра $d_1$ может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов).
• Вторая цифра $d_2$ может быть любой от 0 до 9 (10 вариантов).
• Третья цифра $d_3$ может быть любой от 0 до 9 (10 вариантов).

Общее количество трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $N_3 = 9 \times 10 \times 10 = 900$.

Теперь подсчитаем количество пятизначных чисел, у которых первая цифра равна 5, а четвёртая — 9. Такое число имеет вид $\overline{5c_2c_39c_5}$.

• Первая цифра зафиксирована и равна 5 (1 вариант).
• Вторая цифра $c_2$ может быть любой от 0 до 9 (10 вариантов).
• Третья цифра $c_3$ может быть любой от 0 до 9 (10 вариантов).
• Четвёртая цифра зафиксирована и равна 9 (1 вариант).
• Пятая цифра $c_5$ может быть любой от 0 до 9 (10 вариантов).

Общее количество таких пятизначных чисел: $N_5 = 1 \times 10 \times 10 \times 1 \times 10 = 1000$.

При прямом подсчёте мы получаем $900 \neq 1000$. Это говорит о том, что в условии задачи, вероятно, есть неточность. Скорее всего, пропущено дополнительное условие для пятизначных чисел.

Способ 2: Установление взаимно однозначного соответствия.

Поскольку тема работы предполагает использование взаимно однозначного соответствия, покажем, как можно его установить. Это поможет выявить недостающее условие.

Пусть $A$ — множество всех трёхзначных чисел. Каждое такое число можно записать как $\overline{d_1 d_2 d_3}$, где $d_1 \in \{1, 2, \dots, 9\}$ и $d_2, d_3 \in \{0, 1, \dots, 9\}$.

Пусть $B$ — множество пятизначных чисел, о которых говорится в задаче.

Поставим в соответствие каждому трёхзначному числу $\overline{d_1 d_2 d_3}$ из множества $A$ пятизначное число по следующему правилу: на место свободных разрядов (второго, третьего и пятого) поставим соответствующие цифры трёхзначного числа. Получим число вида $\overline{5d_1d_29d_3}$.

Например:

• Трёхзначному числу 100 соответствует пятизначное число 51090.
• Трёхзначному числу 987 соответствует пятизначное число 59897.

Это соответствие является взаимно однозначным (биекцией) между множеством $A$ и некоторым множеством $B'$. Каждому числу из $A$ соответствует ровно одно число из $B'$, и наоборот.

Однако, поскольку первая цифра трёхзначного числа $d_1$ не может быть нулём, то и вторая цифра пятизначного числа $\overline{5d_1d_29d_3}$ тоже не может быть нулём.

Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством всех трёхзначных чисел и множеством пятизначных чисел, у которых первая цифра равна 5, четвёртая — 9, а вторая не равна нулю.

Подсчитаем количество чисел в этом множестве $B'$: $1 \text{ (цифра 5)} \times 9 \text{ (цифры 1-9)} \times 10 \text{ (цифры 0-9)} \times 1 \text{ (цифра 9)} \times 10 \text{ (цифры 0-9)} = 900$.

Количество таких чисел равно 900, что совпадает с количеством трёхзначных чисел. Следовательно, утверждение задачи верно, если добавить условие, что вторая цифра пятизначного числа отлична от нуля.

Ответ: Количество трёхзначных чисел (900) равно количеству пятизначных чисел, у которых первая цифра 5, четвёртая 9, а вторая не равна 0 (900). Утверждение в задаче верно при этом дополнительном условии.

2. У каждого из 25 учащихся класса есть брат или сестра. У 17 учащихся есть брат, а у 13 учащихся — сестра. У скольких учеников этого класса есть и брат, и сестра?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой включения-исключения для двух множеств.

Пусть $A$ — множество учащихся, у которых есть брат, а $B$ — множество учащихся, у которых есть сестра.

По условию задачи нам даны следующие данные:

• Общее число учащихся, у которых есть брат или сестра (объединение множеств), $|A \cup B| = 25$.
• Число учащихся, у которых есть брат, $|A| = 17$.
• Число учащихся, у которых есть сестра, $|B| = 13$.

Нам необходимо найти количество учащихся, у которых есть и брат, и сестра. Это соответствует нахождению мощности пересечения множеств $A$ и $B$, то есть $|A \cap B|$.

Формула включения-исключения для двух множеств гласит: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Мы можем выразить из этой формулы искомое значение $|A \cap B|$: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Теперь подставим известные нам значения в формулу: $|A \cap B| = 17 + 13 - 25$

Выполним вычисления: $|A \cap B| = 30 - 25 = 5$

Следовательно, у 5 учеников этого класса есть и брат, и сестра.

Ответ: 5.