Номер 40, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 40, страница 65.

Условие.

Самостоятельная работа № 40

Деление многочленов

1. Докажите, что многочлен $x^3 - x^2 - 7x + 3$ делится нацело на многочлен $x^2 + 2x - 1$.

2. Докажите, что многочлен $x^3 + 3x^2 - 5$ не делится нацело на многочлен $x - 1$.

3. Выделите целую часть из рациональной дроби $\frac{4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 3x + 5}{x^2 - x + 4}$.

Решение.

1. Чтобы доказать, что многочлен $x^3 - x^2 - 7x + 3$ делится нацело на многочлен $x^2 + 2x - 1$, выполним деление многочленов столбиком (длинное деление).
Делимое: $P(x) = x^3 - x^2 - 7x + 3$.
Делитель: $Q(x) = x^2 + 2x - 1$.

Шаг 1: Разделим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$):
$x^3 / x^2 = x$. Это первый член частного.
Умножим делитель на $x$: $x \cdot (x^2 + 2x - 1) = x^3 + 2x^2 - x$.
Вычтем полученный результат из делимого:
$(x^3 - x^2 - 7x + 3) - (x^3 + 2x^2 - x) = x^3 - x^2 - 7x + 3 - x^3 - 2x^2 + x = -3x^2 - 6x + 3$.

Шаг 2: Теперь работаем с многочленом $-3x^2 - 6x + 3$. Разделим его старший член ($-3x^2$) на старший член делителя ($x^2$):
$-3x^2 / x^2 = -3$. Это второй член частного.
Умножим делитель на $-3$: $-3 \cdot (x^2 + 2x - 1) = -3x^2 - 6x + 3$.
Вычтем полученный результат:
$(-3x^2 - 6x + 3) - (-3x^2 - 6x + 3) = 0$.

Остаток от деления равен 0. Это доказывает, что многочлен $x^3 - x^2 - 7x + 3$ делится на $x^2 + 2x - 1$ без остатка. Частное при этом равно $x - 3$.
Ответ: Так как при делении многочлена $x^3 - x^2 - 7x + 3$ на $x^2 + 2x - 1$ в остатке получается 0, то деление происходит нацело, что и требовалось доказать.

2. Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^3 + 3x^2 - 5$ не делится нацело на многочлен $x - 1$, воспользуемся теоремой Безу.
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен вида $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $P(a)$.
В нашем случае делитель равен $x - 1$, следовательно, $a = 1$.
Найдем значение многочлена $P(x) = x^3 + 3x^2 - 5$ при $x = 1$:
$P(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 5 = 1 + 3 \cdot 1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$.
Остаток от деления равен -1.
Поскольку остаток не равен нулю, многочлен не делится нацело.
Ответ: Остаток от деления равен -1, что отлично от нуля, следовательно, многочлен $x^3 + 3x^2 - 5$ не делится нацело на $x - 1$, что и требовалось доказать.

3. Чтобы выделить целую часть из рациональной дроби $\frac{4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 3x + 5}{x^2 - x + 4}$, нужно выполнить деление числителя на знаменатель столбиком. Целой частью будет частное от этого деления.
Делимое: $4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 3x + 5$.
Делитель: $x^2 - x + 4$.

Шаг 1: Делим $4x^4$ на $x^2$, получаем $4x^2$.
$4x^2 \cdot (x^2 - x + 4) = 4x^4 - 4x^3 + 16x^2$.
Вычитаем: $(4x^4 + 4x^3 + 2x^2) - (4x^4 - 4x^3 + 16x^2) = 8x^3 - 14x^2$. Сносим следующий член, $-3x$.

Шаг 2: Делим $8x^3$ на $x^2$, получаем $8x$.
$8x \cdot (x^2 - x + 4) = 8x^3 - 8x^2 + 32x$.
Вычитаем: $(8x^3 - 14x^2 - 3x) - (8x^3 - 8x^2 + 32x) = -6x^2 - 35x$. Сносим следующий член, $+5$.

Шаг 3: Делим $-6x^2$ на $x^2$, получаем $-6$.
$-6 \cdot (x^2 - x + 4) = -6x^2 + 6x - 24$.
Вычитаем: $(-6x^2 - 35x + 5) - (-6x^2 + 6x - 24) = -41x + 29$.

Степень остатка ($-41x + 29$) равна 1, что меньше степени делителя ($x^2 - x + 4$), равной 2. Деление завершено.
Частное (целая часть) равно $4x^2 + 8x - 6$.
Остаток равен $-41x + 29$.
Таким образом, дробь можно записать как: $4x^2 + 8x - 6 + \frac{-41x + 29}{x^2 - x + 4}$.
Ответ: $4x^2 + 8x - 6$.