Номер 37, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 37, страница 64.

Условие.

Самостоятельная работа № 37

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

1. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - x}{x^2 - 9} = \frac{7x - 15}{x^2 - 9};$

2) $\frac{4x + 5}{x + 2} = \frac{2x - 7}{3x - 6};$

3) $\frac{x + 3}{x - 4} - \frac{2}{x - 3} = \frac{8x - 22}{(x - 4)(x - 3)}.$

2. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\frac{x^2 - 4x + 3}{x - a} = 0.$

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{x^2 - (a + 1)x + 3a - 6}{\sqrt{x - 2}} = 0$ имеет единственное решение?

Решение.

1)

Данное уравнение: $\frac{x^2 - x}{x^2 - 9} = \frac{7x - 15}{x^2 - 9}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, что равносильно $(x-3)(x+3) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Поскольку знаменатели дробей равны, мы можем приравнять их числители:

$x^2 - x = 7x - 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 7x + 15 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

2)

Данное уравнение: $\frac{4x + 5}{x + 2} = \frac{2x - 7}{3x - 6}$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ и $3x - 6 \neq 0 \Rightarrow 3(x-2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(4x + 5)(3x - 6) = (2x - 7)(x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$12x^2 - 24x + 15x - 30 = 2x^2 + 4x - 7x - 14$

$12x^2 - 9x - 30 = 2x^2 - 3x - 14$

Перенесем все члены в левую часть:

$12x^2 - 2x^2 - 9x + 3x - 30 + 14 = 0$

$10x^2 - 6x - 16 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5x^2 - 3x - 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = 1.6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

Оба корня, 1.6 и -1, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 2$).

Ответ: -1; 1,6.

3)

Данное уравнение: $\frac{x+3}{x-4} - \frac{2}{x-3} = \frac{8x-22}{(x-4)(x-3)}$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-4)(x-3)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$(x+3)(x-3) - 2(x-4) = 8x-22$

$x^2 - 9 - 2x + 8 = 8x - 22$

$x^2 - 2x - 1 = 8x - 22$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 8x - 1 + 22 = 0$

$x^2 - 10x + 21 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 21. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$ и является посторонним. Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 7.

2.

Дробь $\frac{x^2 - 4x + 3}{x - a}$ равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - a \neq 0 \Rightarrow x \neq a$.

Теперь нужно проверить, при каких значениях параметра $a$ найденные корни $x=1$ и $x=3$ не совпадают с $a$.

Рассмотрим возможные случаи:

• Если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, то оба корня, $x=1$ и $x=3$, являются решениями уравнения, так как они не обращают знаменатель в ноль.
• Если $a=1$, то корень $x=1$ становится посторонним, так как знаменатель обращается в ноль ($x \neq a$). В этом случае решением является только $x=3$.
• Если $a=3$, то корень $x=3$ становится посторонним. В этом случае решением является только $x=1$.

Ответ: если $a=1$, то $x=3$; если $a=3$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, то $x_1=1$, $x_2=3$.

3.

Уравнение $\frac{x^2 - (a+1)x + 3a - 6}{\sqrt{x-2}} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a+1)x + 3a - 6 = 0, \\ \sqrt{x-2} \neq 0. \end{cases}$

Условие $\sqrt{x-2} \neq 0$ эквивалентно $x-2 > 0$, то есть $x > 2$.

Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - (a+1)x + 3a - 6 = 0$ имеет ровно один корень, больший 2.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = (-(a+1))^2 - 4(1)(3a-6) = a^2 + 2a + 1 - 12a + 24 = a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$.

Поскольку $D = (a-5)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{a+1 \pm \sqrt{(a-5)^2}}{2} = \frac{a+1 \pm (a-5)}{2}$

$x_1 = \frac{a+1 + (a-5)}{2} = \frac{2a-4}{2} = a-2$

$x_2 = \frac{a+1 - (a-5)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Итак, корни числителя это $x_1 = a-2$ и $x_2 = 3$. Теперь нужно проверить, при каких $a$ только один из этих корней удовлетворяет условию $x>2$.

Корень $x_2 = 3$ всегда удовлетворяет условию $3 > 2$.

Чтобы решение было единственным, нужно рассмотреть два случая:

1. Корни совпадают: $x_1 = x_2$.

$a-2 = 3 \Rightarrow a = 5$.

При $a=5$ уравнение имеет один корень $x=3$, который удовлетворяет условию $x>2$. Следовательно, $a=5$ является решением.

2. Корни различны ($a \neq 5$), но только один из них больше 2.

Так как корень $x_2=3$ всегда больше 2, нам нужно, чтобы второй корень $x_1 = a-2$ не был больше 2.

$a-2 \le 2 \Rightarrow a \le 4$.

При $a \le 4$, корень $x_1 = a-2$ не удовлетворяет условию $x>2$, а корень $x_2=3$ удовлетворяет. Так как при $a \le 4$ выполняется условие $a \neq 5$, корни различны, и мы получаем единственное решение $x=3$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a \le 4$ или $a=5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 4] \cup \{5\}$.