Номер 1, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 1, страница 67.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Множество. Подмножества данного множества

1. Дана функция $f(x) = 5 + |x|$. Какие из следующих утверждений являются верными:

1) $3 \notin E(f)$;

2) $6 \in D(f)$;

3) $6 \notin E(f)$;

4) $3 \in D(f)$?

2. Запишите все собственные подмножества множества натуральных делителей числа 21.

3. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера соотношение между множествами $A$, $B$ и $C$, если: $A = \{2, 6, 7\}$, $B = \{6\}$, $C = \{3, 4, 6\}$.

Решение.

1.

Дана функция $f(x) = 5 + |x|$. Для того чтобы определить, какие утверждения верны, найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ этой функции.

1. Область определения $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция имеет смысл. Выражение $5 + |x|$ определено для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа. $D(f) = \mathbb{R}$ (или $x \in (-\infty, +\infty)$).

2. Область значений $E(f)$ — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$. Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при $x=0$ и равно $f(0) = 5 + |0| = 5$. Для всех остальных $x$ значение функции будет больше 5. Таким образом, область значений функции — все числа, большие или равные 5. $E(f) = [5, +\infty)$.

Теперь проверим каждое утверждение:
1) $3 \notin E(f)$: Число 3 не входит в область значений $[5, +\infty)$, так как $3 < 5$. Утверждение верно.
2) $6 \in D(f)$: Число 6 является действительным числом, поэтому оно входит в область определения $D(f) = \mathbb{R}$. Утверждение верно.
3) $6 \notin E(f)$: Число 6 входит в область значений $[5, +\infty)$, так как $6 \ge 5$. Утверждение, что 6 не принадлежит $E(f)$, является ложным. Утверждение неверно.
4) $3 \in D(f)$: Число 3 является действительным числом, поэтому оно входит в область определения $D(f) = \mathbb{R}$. Утверждение верно.

Ответ: Верными являются утверждения 1, 2, 4.

2.

Сначала найдем множество $M$ всех натуральных делителей числа 21.
Натуральные делители 21 — это числа, на которые 21 делится без остатка. Это числа: 1, 3, 7, 21.
Итак, множество $M = \{1, 3, 7, 21\}$.

Собственное подмножество множества $M$ — это любое его подмножество, которое не равно самому множеству $M$. Общее число подмножеств для множества из 4 элементов равно $2^4 = 16$. Чтобы найти собственные подмножества, нужно перечислить все подмножества, кроме самого множества $\{1, 3, 7, 21\}$.

Собственные подмножества множества $M$:
- Пустое множество: $\emptyset$
- Подмножества из одного элемента: $\{1\}, \{3\}, \{7\}, \{21\}$
- Подмножества из двух элементов: $\{1, 3\}, \{1, 7\}, \{1, 21\}, \{3, 7\}, \{3, 21\}, \{7, 21\}$
- Подмножества из трех элементов: $\{1, 3, 7\}, \{1, 3, 21\}, \{1, 7, 21\}, \{3, 7, 21\}$

Ответ: $\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{7\}, \{21\}, \{1, 3\}, \{1, 7\}, \{1, 21\}, \{3, 7\}, \{3, 21\}, \{7, 21\}, \{1, 3, 7\}, \{1, 3, 21\}, \{1, 7, 21\}, \{3, 7, 21\}$.

3.

Даны множества $A = \{2, 6, 7\}$, $B = \{6\}$, $C = \{3, 4, 6\}$.
Для построения диаграммы Эйлера проанализируем отношения между множествами:
- Найдем пересечение множеств (общие элементы):
$A \cap C = \{6\}$
$A \cap B = \{6\}$
$B \cap C = \{6\}$
$A \cap B \cap C = \{6\}$
- Сделаем выводы:
Поскольку множество $B$ состоит из одного элемента $\{6\}$, который является общим для всех трех множеств, то множество $B$ является подмножеством как множества $A$, так и множества $C$. На диаграмме область, представляющая $B$, будет находиться внутри пересечения областей $A$ и $C$.
- Элементы, принадлежащие только одному множеству:
Только $A$: $\{2, 7\}$
Только $C$: $\{3, 4\}$
Только $B$: нет (элемент 6 общий)

Ответ: Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая соотношение множеств, представлена выше.