Номер 13, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 13, страница 73.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Степень с целым отрицательным показателем

1. Найдите значение выражения:

1) $5^{-1} + 10^{-2}$;

2) $(\frac{4}{5})^{-2} + 8^{-1} - (-4,7)^0$;

3) $(\frac{7}{5})^{-2} \cdot 5^{-3}$.

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{4,9 a^{-8} b^{-10} c^{0}}{3^{-3} x^{-5} y^{-13} z^{-6}}$;

2) $(5c - d)^{-2} : (5d^{-1} - c^{-1})^{-1}$.

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 18;

2) 0,0057;

3) $440 \cdot 10^4$;

4) $57 \cdot 10^{-3}$.

4. Сравните:

1) $6,8 \cdot 10^{-7}$ и $7,2 \cdot 10^{-8}$;

2) $1,54 \cdot 10^8$ и $0,15 \cdot 10^9$;

3) $27,9 \cdot 10^{-12}$ и $0,038 \cdot 10^{-10}$.

5. Порядок некоторого натурального числа равен 8. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) Для нахождения значения выражения $5^{-1} + 10^{-2}$ воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} = 0,2$
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
$5^{-1} + 10^{-2} = 0,2 + 0,01 = 0,21$
Ответ: 0,21

2) Для нахождения значения выражения $(\frac{4}{5})^{-2} + 8^{-1} - (-4,7)^0$ воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$.
$(\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$
$8^{-1} = \frac{1}{8}$
$(-4,7)^0 = 1$
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$\frac{25}{16} + \frac{1}{8} - 1 = \frac{25}{16} + \frac{2}{16} - \frac{16}{16} = \frac{25 + 2 - 16}{16} = \frac{11}{16}$
Ответ: $\frac{11}{16}$

3) Для нахождения значения выражения $(\frac{7}{5})^{-2} \cdot 5^{-3}$ применим те же свойства степеней.
$(\frac{7}{5})^{-2} = (\frac{5}{7})^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49}$
$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
Перемножим результаты:
$\frac{25}{49} \cdot \frac{1}{125} = \frac{25}{49 \cdot 125} = \frac{1}{49 \cdot 5} = \frac{1}{245}$
Ответ: $\frac{1}{245}$

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) Дано выражение $\frac{4,9^0 a^{-8} b^{-10} c^0}{3^{-3} x^{-5} y^{-13} z^{-6}}$.
Используем свойства: $a^0 = 1$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Чтобы избавиться от отрицательного показателя, перенесем степень из числителя в знаменатель (и наоборот), изменив знак показателя на противоположный.
$4,9^0 = 1$, $c^0 = 1$.
$\frac{1 \cdot a^{-8} b^{-10} \cdot 1}{3^{-3} x^{-5} y^{-13} z^{-6}} = \frac{3^3 x^5 y^{13} z^6}{a^8 b^{10}} = \frac{27x^5 y^{13} z^6}{a^8 b^{10}}$
Ответ: $\frac{27x^5 y^{13} z^6}{a^8 b^{10}}$

2) Дано выражение $(5c - d)^{-2} : (5d^{-1} - c^{-1})^{-1}$.
Преобразуем каждую часть выражения:
$(5c - d)^{-2} = \frac{1}{(5c - d)^2}$
$(5d^{-1} - c^{-1})^{-1} = (\frac{5}{d} - \frac{1}{c})^{-1} = (\frac{5c - d}{dc})^{-1} = \frac{dc}{5c - d}$
Теперь выполним деление:
$\frac{1}{(5c - d)^2} : \frac{dc}{5c - d} = \frac{1}{(5c - d)^2} \cdot \frac{5c - d}{dc} = \frac{5c - d}{(5c - d)^2 \cdot dc} = \frac{1}{dc(5c - d)}$
Ответ: $\frac{1}{dc(5c - d)}$

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 18
$18 = 1,8 \cdot 10^1$
Ответ: $1,8 \cdot 10^1$, порядок 1.

2) 0,0057
$0,0057 = 5,7 \cdot 10^{-3}$
Ответ: $5,7 \cdot 10^{-3}$, порядок -3.

3) $440 \cdot 10^4$
$440 \cdot 10^4 = (4,4 \cdot 10^2) \cdot 10^4 = 4,4 \cdot 10^{2+4} = 4,4 \cdot 10^6$
Ответ: $4,4 \cdot 10^6$, порядок 6.

4) $57 \cdot 10^{-3}$
$57 \cdot 10^{-3} = (5,7 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 5,7 \cdot 10^{1-3} = 5,7 \cdot 10^{-2}$
Ответ: $5,7 \cdot 10^{-2}$, порядок -2.

4. Сравните:

1) $6,8 \cdot 10^{-7}$ и $7,2 \cdot 10^{-8}$
Сравниваем порядки чисел: $-7$ и $-8$. Так как $-7 > -8$, то первое число больше.
Ответ: $6,8 \cdot 10^{-7} > 7,2 \cdot 10^{-8}$

2) $1,54 \cdot 10^8$ и $0,15 \cdot 10^9$
Приведем второе число к стандартному виду: $0,15 \cdot 10^9 = (1,5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^9 = 1,5 \cdot 10^8$.
Теперь сравниваем $1,54 \cdot 10^8$ и $1,5 \cdot 10^8$. Порядки одинаковы, поэтому сравниваем мантиссы: $1,54 > 1,5$. Значит, первое число больше.
Ответ: $1,54 \cdot 10^8 > 0,15 \cdot 10^9$

3) $27,9 \cdot 10^{-12}$ и $0,038 \cdot 10^{-10}$
Приведем оба числа к стандартному виду:
$27,9 \cdot 10^{-12} = 2,79 \cdot 10^1 \cdot 10^{-12} = 2,79 \cdot 10^{-11}$
$0,038 \cdot 10^{-10} = 3,8 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-10} = 3,8 \cdot 10^{-12}$
Сравниваем порядки: $-11$ и $-12$. Так как $-11 > -12$, то первое число больше.
Ответ: $27,9 \cdot 10^{-12} > 0,038 \cdot 10^{-10}$

5. Порядок некоторого натурального числа равен 8. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Порядок числа – это показатель степени десяти в стандартной записи числа $a \cdot 10^n$.
Если порядок натурального числа равен $n$, то это число $N$ удовлетворяет неравенству $10^n \le N < 10^{n+1}$.
В нашем случае порядок равен 8, значит $10^8 \le N < 10^9$.
Число $10^8$ (100 000 000) состоит из 9 цифр. Число $10^9$ (1 000 000 000) - это наименьшее число, состоящее из 10 цифр. Следовательно, любое натуральное число $N$, которое больше или равно $10^8$ и меньше $10^9$, будет содержать 9 цифр.
Количество цифр в натуральном числе, порядок которого равен $n$, вычисляется по формуле $n+1$.
$8 + 1 = 9$.
Ответ: 9 цифр.