Номер 11, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 11, страница 72.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Рациональные уравнения

1. Равносильны ли уравнения:

1) $x^6 = -19$ и $|x| = -5$;

2) $x + 5 = 5 + x$ и $\frac{x^2 + 7}{x^2 + 7} = 1$;

3) $\frac{x^2 - 64}{x + 8} = 0$ и $x^2 = 64$;

4) $\frac{(x + 7)^2}{x - 3} = 0$ и $x + 7 = 0$?

2. Какое из уравнений является следствием другого:

1) $(x + 6)(x - 2) = 0$ и $x + 6 = 0$;

2) $x^2 - 100 = 0$ и $\frac{x^2}{x + 10} = \frac{100}{x + 10}$?

3. Решите уравнение:

1) $\frac{4x - 1}{x + 3} - \frac{3x - 2}{x - 1} = 1$;

2) $\frac{x^2 - 12}{x^2 - 4} = \frac{x + 3}{x + 2} - \frac{2}{x - 2}$;

3) $\frac{4}{x^2 - 6x} - \frac{x - 4}{x^2 + 6x} - \frac{8}{x^2 - 36} = 0$.

Решение.

1)

Рассмотрим первое уравнение $x^6 = -19$. Левая часть уравнения, $x^6$, представляет собой чётную степень переменной $x$, поэтому её значение всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Правая часть уравнения — отрицательное число. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений — пустое ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение $|x| = -5$. Модуль любого действительного числа по определению неотрицателен ($|x| \ge 0$), в то время как правая часть уравнения отрицательна. Таким образом, это уравнение также не имеет действительных корней. Множество его решений — пустое ($\emptyset$).

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), данные уравнения являются равносильными.

Ответ: да, уравнения равносильны.

2)

Первое уравнение $x + 5 = 5 + x$ является тождеством, так как оно обращается в верное равенство $0=0$ при любом значении $x$. Множеством его решений являются все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Второе уравнение $\frac{x^2 + 7}{x^2 + 7} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x^2 + 7 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 7 \ge 7$, что означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа. На всей области допустимых значений уравнение представляет собой тождество $1=1$. Таким образом, его решением является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

3)

Рассмотрим первое уравнение $\frac{x^2 - 64}{x + 8} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1) $x^2 - 64 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = -8$.
2) $x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$.
Из этих двух условий следует, что корень $x = -8$ является посторонним. Единственным решением является $x = 8$.

Второе уравнение $x^2 = 64$ имеет два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Множества решений уравнений ($\{8\}$ и $\{-8, 8\}$) не совпадают, значит, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.

4)

Рассмотрим первое уравнение $\frac{(x + 7)^2}{x - 3} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1) $(x + 7)^2 = 0 \Rightarrow x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$.
2) $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
Корень $x = -7$ удовлетворяет условию $x \neq 3$, следовательно, это единственное решение уравнения.

Второе уравнение $x + 7 = 0$ имеет единственный корень $x = -7$.

Множества решений обоих уравнений совпадают ($\{-7\}$), следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

---

1)

Найдём корни каждого уравнения.
Для уравнения $(x + 6)(x - 2) = 0$ корнями являются $x = -6$ и $x = 2$. Множество решений: $\{-6, 2\}$.
Для уравнения $x + 6 = 0$ корнем является $x = -6$. Множество решений: $\{-6\}$.

Уравнение (A) является следствием уравнения (B), если каждый корень уравнения (B) является корнем уравнения (A). Так как множество решений второго уравнения $\{-6\}$ является подмножеством множества решений первого уравнения $\{-6, 2\}$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: уравнение $(x + 6)(x - 2) = 0$ является следствием уравнения $x + 6 = 0$.

2)

Найдём корни каждого уравнения.
Для уравнения $x^2 - 100 = 0$ корнями являются $x = 10$ и $x = -10$. Множество решений: $\{10, -10\}$.
Для уравнения $\frac{x^2}{x + 10} = \frac{100}{x + 10}$ найдём ОДЗ: $x + 10 \neq 0 \Rightarrow x \neq -10$. На этой области можно умножить обе части на $(x+10)$, получив уравнение $x^2 = 100$, корни которого $x=10$ и $x=-10$. Учитывая ОДЗ, корень $x=-10$ является посторонним. Единственным решением является $x = 10$. Множество решений: $\{10\}$.

Так как множество решений второго уравнения $\{10\}$ является подмножеством множества решений первого уравнения $\{10, -10\}$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: уравнение $x^2 - 100 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x + 10} = \frac{100}{x + 10}$.

---

1)

$\frac{4x - 1}{x + 3} - \frac{3x - 2}{x - 1} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq 1$.
Приведём уравнение к общему знаменателю $(x+3)(x-1)$:
$(4x - 1)(x - 1) - (3x - 2)(x + 3) = (x + 3)(x - 1)$
Раскроем скобки:
$(4x^2 - 4x - x + 1) - (3x^2 + 9x - 2x - 6) = x^2 - x + 3x - 3$
$(4x^2 - 5x + 1) - (3x^2 + 7x - 6) = x^2 + 2x - 3$
$4x^2 - 5x + 1 - 3x^2 - 7x + 6 = x^2 + 2x - 3$
$x^2 - 12x + 7 = x^2 + 2x - 3$
Перенесём все члены с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$-12x - 2x = -3 - 7$
$-14x = -10$
$x = \frac{-10}{-14} = \frac{5}{7}$
Найденный корень $x = \frac{5}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

2)

$\frac{x^2 - 12}{x^2 - 4} = \frac{x + 3}{x + 2} - \frac{2}{x - 2}$

Разложим знаменатель $x^2 - 4$ на множители: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приведём уравнение к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:
$x^2 - 12 = (x + 3)(x - 2) - 2(x + 2)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 12 = (x^2 - 2x + 3x - 6) - (2x + 4)$
$x^2 - 12 = x^2 + x - 6 - 2x - 4$
$x^2 - 12 = x^2 - x - 10$
$-12 = -x - 10$
$x = 12 - 10$
$x = 2$
Полученный корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3)

$\frac{4}{x^2 - 6x} - \frac{x - 4}{x^2 + 6x} - \frac{8}{x^2 - 36} = 0$

Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 6x = x(x - 6)$
$x^2 + 6x = x(x + 6)$
$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.
Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$. Умножим на него обе части уравнения:
$4(x + 6) - (x - 4)(x - 6) - 8x = 0$
Раскроем скобки:
$4x + 24 - (x^2 - 6x - 4x + 24) - 8x = 0$
$4x + 24 - (x^2 - 10x + 24) - 8x = 0$
$4x + 24 - x^2 + 10x - 24 - 8x = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$-x^2 + (4 + 10 - 8)x + (24 - 24) = 0$
$-x^2 + 6x = 0$
$x(-x + 6) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Оба этих значения не входят в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.