Номер 29, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 29, страница 60.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Свойства арифметического квадратного корня

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{(-1,26)^2}$; 3) $\sqrt{2^{10}\cdot 7^2}$; 5) $\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}};

2) $\sqrt{5\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{25}}$; 4) $\sqrt{24}\cdot\sqrt{6}$; 6) $\sqrt{4,9\cdot 19,6}$.

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt{0,16a^{38}b^{42}}$, если $a \ge 0, b \le 0$;

2) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x - 2}\sqrt{\frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 5)^2}}$, если $2 < x < 5$.

3. При каких значениях x верно равенство:

1) $\sqrt{(x - 6)^2} = (\sqrt{x - 6})^2$;

2) $\sqrt{(x - 3)(x - 7)} = \sqrt{x - 3}\sqrt{x - 7}$?

4. Постройте график функции $y = \sqrt{x^2 - 3x - 4}$, если $x \le 0$.

5. Упростите выражение $\sqrt{a^2 - 12a + 26 + \sqrt{4a^2 - 4a + 1}}$, если $a > \frac{1}{2}$.

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1)

Используем свойство арифметического квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $.

$ \sqrt{(-1,26)^2} = |-1,26| = 1,26 $.

Ответ: 1,26.

2)

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $ 5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16} $.

Теперь вычислим значение выражения, используя свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $:

$ \sqrt{5\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{81}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{20} = 1,35 $.

Ответ: 1,35.

3)

Используем свойства степеней и корней: $ \sqrt{a^m} = a^{m/2} $ и $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.

$ \sqrt{2^{10} \cdot 7^2} = \sqrt{2^{10}} \cdot \sqrt{7^2} = |2^5| \cdot |7| = 32 \cdot 7 = 224 $.

Ответ: 224.

4)

Используем свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:

$ \sqrt{24} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12 $.

Ответ: 12.

5)

Используем свойство $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:

$ \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36} = 6 $.

Ответ: 6.

6)

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде произведения целых чисел и степеней 10:

$ \sqrt{4,9 \cdot 19,6} = \sqrt{49 \cdot 0,1 \cdot 196 \cdot 0,1} = \sqrt{49 \cdot 196 \cdot 0,01} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{196} \cdot \sqrt{0,01} = 7 \cdot 14 \cdot 0,1 = 9,8 $.

Ответ: 9,8.

2. Упростите выражение:

1)

Дано выражение $ \sqrt{0,16a^{38}b^{42}} $ при $ a \ge 0, b \le 0 $.

Используем свойство корня из произведения и $ \sqrt{x^2} = |x| $:

$ \sqrt{0,16a^{38}b^{42}} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{a^{38}} \cdot \sqrt{b^{42}} = 0,4 \cdot \sqrt{(a^{19})^2} \cdot \sqrt{(b^{21})^2} = 0,4 \cdot |a^{19}| \cdot |b^{21}| $.

Так как $ a \ge 0 $, то $ a^{19} \ge 0 $, и $ |a^{19}| = a^{19} $.

Так как $ b \le 0 $, то $ b^{21} \le 0 $, и $ |b^{21}| = -b^{21} $.

Подставляем полученные значения в выражение:

$ 0,4 \cdot a^{19} \cdot (-b^{21}) = -0,4a^{19}b^{21} $.

Ответ: $ -0,4a^{19}b^{21} $.

2)

Дано выражение $ \frac{x^2-10x+25}{x-2}\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{(x-5)^2}} $ при $ 2 < x < 5 $.

Заметим, что выражения в числителях и знаменателях являются полными квадратами:

$ x^2-10x+25 = (x-5)^2 $

$ x^2-4x+4 = (x-2)^2 $

Подставим их в исходное выражение:

$ \frac{(x-5)^2}{x-2}\sqrt{\frac{(x-2)^2}{(x-5)^2}} = \frac{(x-5)^2}{x-2} \cdot \left|\frac{x-2}{x-5}\right| $.

Определим знак дроби под модулем, учитывая условие $ 2 < x < 5 $.

При $ x > 2 $, числитель $ x-2 > 0 $.

При $ x < 5 $, знаменатель $ x-5 < 0 $.

Следовательно, дробь $ \frac{x-2}{x-5} $ отрицательна, и ее модуль равен $ \left|\frac{x-2}{x-5}\right| = -\frac{x-2}{x-5} = \frac{x-2}{5-x} $.

Подставим это в выражение и сократим:

$ \frac{(x-5)^2}{x-2} \cdot \frac{x-2}{5-x} = \frac{(x-5)^2}{5-x} $.

Так как $ (x-5)^2 = (-(5-x))^2 = (5-x)^2 $, то получаем:

$ \frac{(5-x)^2}{5-x} = 5-x $.

Ответ: $ 5-x $.

3. При каких значениях x верно равенство:

1)

$ \sqrt{(x-6)^2} = (\sqrt{x-6})^2 $.

Левая часть равенства: $ \sqrt{(x-6)^2} = |x-6| $. Она определена для любых действительных значений $ x $.

Правая часть равенства: $ (\sqrt{x-6})^2 $. Она определена только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ x-6 \ge 0 $, откуда $ x \ge 6 $. При этом условии $ (\sqrt{x-6})^2 = x-6 $.

Равенство может быть верным только при тех значениях $ x $, для которых определены обе его части, то есть при $ x \ge 6 $.

При $ x \ge 6 $ левая часть равна $ |x-6| = x-6 $, а правая часть равна $ x-6 $.

Так как $ x-6 = x-6 $, равенство верно для всех $ x $ из области определения, то есть при $ x \ge 6 $.

Ответ: $ x \ge 6 $.

2)

$ \sqrt{(x-3)(x-7)} = \sqrt{x-3}\sqrt{x-7} $.

Свойство $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $ верно только в том случае, когда множители $ a $ и $ b $ неотрицательны.

Следовательно, для выполнения данного равенства должны одновременно выполняться два условия:

$ x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 $

$ x-7 \ge 0 \implies x \ge 7 $

Пересечением этих двух условий является $ x \ge 7 $.

Ответ: $ x \ge 7 $.

4. Постройте график функции $ y = \sqrt{x^2} - 3x - 4 $, если $ x \le 0 $.

Сначала упростим уравнение функции. По определению арифметического квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $. Таким образом, функция имеет вид $ y = |x| - 3x - 4 $.

По условию задачи, мы рассматриваем функцию только для $ x \le 0 $. На этом промежутке модуль $ |x| $ раскрывается как $ -x $.

Подставим $ -x $ вместо $ |x| $ в уравнение функции:

$ y = -x - 3x - 4 $

$ y = -4x - 4 $

Это уравнение задает линейную функцию, графиком которой является прямая. Так как на $ x $ наложено ограничение $ x \le 0 $, то графиком будет не вся прямая, а луч.

Для построения луча найдем координаты двух точек:

1. Найдем начальную точку луча при $ x=0 $:

$ y = -4(0) - 4 = -4 $. Координаты точки: $ (0; -4) $.

2. Возьмем любое другое значение $ x $ из области определения, например, $ x = -1 $:

$ y = -4(-1) - 4 = 4 - 4 = 0 $. Координаты точки: $ (-1; 0) $.

Графиком функции является луч, выходящий из точки $ (0; -4) $ и проходящий через точку $ (-1; 0) $.

Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $ (0; -4) $, проходящий через точку $ (-1; 0) $ и расположенный в левой полуплоскости ($ x \le 0 $).

5. Упростите выражение $ \sqrt{a^2 - 12a + 26 + \sqrt{4a^2 - 4a + 1}} $, если $ a > \frac{1}{2} $.

Упростим выражение, начиная с внутреннего подкоренного выражения.

Выражение $ 4a^2 - 4a + 1 $ является полным квадратом разности: $ (2a-1)^2 $.

Следовательно, $ \sqrt{4a^2 - 4a + 1} = \sqrt{(2a-1)^2} = |2a-1| $.

По условию $ a > \frac{1}{2} $, что равносильно $ 2a > 1 $, или $ 2a-1 > 0 $. Значит, модуль раскрывается со знаком плюс: $ |2a-1| = 2a-1 $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \sqrt{a^2 - 12a + 26 + (2a-1)} $.

Упростим выражение под внешним корнем:

$ a^2 - 12a + 26 + 2a - 1 = a^2 - 10a + 25 $.

Это выражение также является полным квадратом разности: $ (a-5)^2 $.

Таким образом, всё выражение равно $ \sqrt{(a-5)^2} = |a-5| $.

Результат можно оставить в виде модуля или записать в кусочно-заданной форме, учитывая условие $ a > \frac{1}{2} $:

$ |a-5| = \begin{cases} a-5, & \text{если } a \ge 5 \\ 5-a, & \text{если } \frac{1}{2} < a < 5 \end{cases} $.

Ответ: $ |a-5| $.