Номер 22, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 22, страница 56.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Сложение и умножение числовых неравенств.

Оценивание значения выражения

1. Верно ли утверждение:

1) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a - b > -4$;

2) если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 30$;

3) если $a > 4$ и $b > 8$, то $2a + 3b > 32$;

4) если $a < 4$ и $b < 8$, то $ab < 32$;

5) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

6) если $a < 4$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{4}$?

2. Дано: $-3 < a < 2$. Оцените значение выражения:

1) $a - 2$;

2) $-\frac{a}{3}$;

3) $3a - 1$;

4) $3 - 4a$.

3. Дано: $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$. Оцените значение выражения:

1) $ab$;

2) $4a - 3b$;

3) $\frac{5a}{2b}$.

4. Оцените значение $x$, если:

1) $y^2 + 4x = 8$;

2) $7|x| + y^2 = 14$.

Решение.

1. Верно ли утверждение:

1) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a - b > -4$

Данное утверждение неверно. Для доказательства приведем контрпример. Возьмем значения $a$ и $b$, удовлетворяющие условиям $a > 4$ и $b > 8$. Пусть $a = 5$ и $b = 10$. Условия выполняются: $5 > 4$ и $10 > 8$. Найдем значение выражения $a - b$: $a - b = 5 - 10 = -5$. Проверим, выполняется ли неравенство $a - b > -4$: $-5 > -4$. Это неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

2) если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 30$

Данное утверждение верно. Нам даны два неравенства: $a > 4$ и $b > 8$. Поскольку все части этих неравенств являются положительными числами, мы можем их перемножить почленно. $a \cdot b > 4 \cdot 8$ $ab > 32$ Так как $32 > 30$, то если $ab > 32$, то $ab$ будет и больше 30. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

3) если $a > 4$ и $b > 8$, то $2a + 3b > 32$

Данное утверждение верно. Умножим первое неравенство $a > 4$ на положительное число 2: $2a > 2 \cdot 4 \implies 2a > 8$. Умножим второе неравенство $b > 8$ на положительное число 3: $3b > 3 \cdot 8 \implies 3b > 24$. Теперь сложим полученные неравенства одинакового знака: $2a + 3b > 8 + 24$ $2a + 3b > 32$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

4) если $a < 4$ и $b < 8$, то $ab < 32$

Данное утверждение неверно. Свойство умножения неравенств применимо только для положительных чисел. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример. Пусть $a = -10$ и $b = -5$. Условия выполняются: $-10 < 4$ и $-5 < 8$. Найдем значение произведения $ab$: $ab = (-10) \cdot (-5) = 50$. Проверим, выполняется ли неравенство $ab < 32$: $50 < 32$. Это неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

5) если $a > 4$, то $a^2 > 16$

Данное утверждение верно. Из условия $a > 4$ следует, что $a$ — положительное число. Для положительных чисел функция $y = x^2$ является возрастающей, поэтому при возведении в квадрат обеих частей неравенства знак неравенства сохраняется. $a^2 > 4^2$ $a^2 > 16$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

6) если $a < 4$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{4}$ ?

Данное утверждение неверно. Оно было бы верным, если бы было дополнительное условие $0 < a < 4$. Но так как дано только $a < 4$, число $a$ может быть отрицательным. Приведем контрпример. Пусть $a = -2$. Условие выполняется: $-2 < 4$. Найдем значение выражения $\frac{1}{a}$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Проверим, выполняется ли неравенство $\frac{1}{a} > \frac{1}{4}$: $-0.5 > 0.25$. Это неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

2. Дано: $-3 < a < 2$. Оцените значение выражения:

1) $a - 2$

Вычтем число 2 из всех частей исходного неравенства: $-3 - 2 < a - 2 < 2 - 2$ $-5 < a - 2 < 0$

Ответ: $-5 < a - 2 < 0$.

2) $-\frac{a}{3}$

Сначала разделим все части исходного неравенства на 3: $\frac{-3}{3} < \frac{a}{3} < \frac{2}{3}$ $-1 < \frac{a}{3} < \frac{2}{3}$ Теперь умножим все части на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $(-1) \cdot (-1) > -\frac{a}{3} > (-1) \cdot \frac{2}{3}$ $1 > -\frac{a}{3} > -\frac{2}{3}$ Запишем в привычном виде (от меньшего к большему): $-\frac{2}{3} < -\frac{a}{3} < 1$

Ответ: $-\frac{2}{3} < -\frac{a}{3} < 1$.

3) $3a - 1$

Умножим все части исходного неравенства на 3: $3 \cdot (-3) < 3a < 3 \cdot 2$ $-9 < 3a < 6$ Теперь вычтем 1 из всех частей: $-9 - 1 < 3a - 1 < 6 - 1$ $-10 < 3a - 1 < 5$

Ответ: $-10 < 3a - 1 < 5$.

4) $3 - 4a$

Сначала оценим выражение $-4a$. Умножим исходное неравенство на -4, изменив знаки на противоположные: $(-4) \cdot (-3) > -4a > (-4) \cdot 2$ $12 > -4a > -8$ Запишем в стандартном виде: $-8 < -4a < 12$ Теперь прибавим 3 ко всем частям: $-8 + 3 < 3 - 4a < 12 + 3$ $-5 < 3 - 4a < 15$

Ответ: $-5 < 3 - 4a < 15$.

3. Дано: $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$. Оцените значение выражения:

1) $ab$

Так как все части данных неравенств $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$ положительны, мы можем их почленно перемножить: $2 \cdot 1 < a \cdot b < 5 \cdot 3$ $2 < ab < 15$

Ответ: $2 < ab < 15$.

2) $4a - 3b$

Сначала оценим $4a$. Умножим неравенство $2 < a < 5$ на 4: $4 \cdot 2 < 4a < 4 \cdot 5 \implies 8 < 4a < 20$. Затем оценим $-3b$. Умножим неравенство $1 < b < 3$ на -3, меняя знаки: $(-3) \cdot 1 > -3b > (-3) \cdot 3 \implies -3 > -3b > -9$. Запишем в стандартном виде: $-9 < -3b < -3$. Теперь сложим почленно неравенства для $4a$ и $-3b$: $8 + (-9) < 4a + (-3b) < 20 + (-3)$ $-1 < 4a - 3b < 17$

Ответ: $-1 < 4a - 3b < 17$.

3) $\frac{5a}{2b}$

Оценим числитель $5a$. Умножим $2 < a < 5$ на 5: $10 < 5a < 25$. Оценим знаменатель $2b$. Умножим $1 < b < 3$ на 2: $2 < 2b < 6$. Чтобы оценить дробь, нужно наименьшее значение числителя разделить на наибольшее значение знаменателя (для нижней границы) и наибольшее значение числителя на наименьшее значение знаменателя (для верхней границы), так как все значения положительны. $\frac{10}{6} < \frac{5a}{2b} < \frac{25}{2}$ $\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12.5$

Ответ: $\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12.5$.

4. Оцените значение x, если:

1) $y^2 + 4x = 8$

Выразим $x$ из уравнения: $4x = 8 - y^2$ $x = \frac{8 - y^2}{4} = 2 - \frac{y^2}{4}$ Поскольку $y$ — действительное число, квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $y^2 \geq 0$. Тогда $\frac{y^2}{4} \geq 0$. Умножим на -1, меняя знак неравенства: $-\frac{y^2}{4} \leq 0$. Прибавим 2 к обеим частям: $2 - \frac{y^2}{4} \leq 2$. Следовательно, $x \leq 2$. Наибольшее значение $x$ равно 2 (достигается при $y=0$), а наименьшего значения не существует.

Ответ: $x \leq 2$.

2) $7|x| + y^2 = 14$

Выразим $|x|$ из уравнения: $7|x| = 14 - y^2$ $|x| = \frac{14 - y^2}{7}$ Модуль любого действительного числа неотрицателен, поэтому $|x| \geq 0$. Квадрат любого действительного числа также неотрицателен: $y^2 \geq 0$. Из $y^2 \geq 0$ следует $-y^2 \leq 0$, а значит $14 - y^2 \leq 14$. Тогда $|x| = \frac{14 - y^2}{7} \leq \frac{14}{7} = 2$. Таким образом, мы имеем двойное неравенство $0 \leq |x| \leq 2$. Неравенство $|x| \leq 2$ равносильно $-2 \leq x \leq 2$.

Ответ: $-2 \leq x \leq 2$.