Номер 20, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 20, страница 55.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Простые и составные числа

1. Найдите все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n + 5$ являются простыми.

2. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $n^2 + 2n - 24$ является простым числом.

3. Укажите все нечётные значения $n$, при которых значение выражения $4^n + 1$ является составным числом.

4. Натуральное число $n$ таково, что числа $n - 6$ и $n - 43$ делятся нацело на простое число $p$. Найдите число $p$.

Решение.

1.

По условию, $n$ и $n+5$ являются простыми числами. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Рассмотрим чётность чисел $n$ и $n+5$.
1. Если $n$ — чётное простое число, то $n=2$. В этом случае $n+5 = 2+5 = 7$. Число 7 также является простым. Следовательно, $n=2$ является решением.
2. Если $n$ — нечётное простое число, то $n \ge 3$. Сумма нечётного числа $n$ и нечётного числа 5 будет чётным числом: $n+5$ — чётное. Поскольку $n \ge 3$, то $n+5 \ge 3+5=8$. Любое чётное число, большее 2, является составным. Таким образом, если $n$ — нечётное простое число, то $n+5$ не может быть простым.

Единственное натуральное значение $n$, при котором оба числа $n$ и $n+5$ являются простыми, это $n=2$.
Ответ: 2

2.

Требуется найти все натуральные значения $n$, при которых выражение $n^2 + 2n - 24$ является простым числом. Обозначим это выражение как $P(n)$.

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Для этого решим уравнение $n^2 + 2n - 24 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $n_1 = 4$ и $n_2 = -6$.
Тогда выражение можно представить в виде произведения: $n^2 + 2n - 24 = (n-4)(n+6)$.

По определению, простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет только два натуральных делителя: 1 и само себя. Значит, один из множителей, $(n-4)$ или $(n+6)$, должен быть равен 1, а другой — простому числу.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Тогда $n+6 \ge 1+6=7$. Следовательно, множитель $n+6$ всегда положителен и больше 1.
Так как $n+6 > n-4$, для того чтобы произведение было простым числом, меньший множитель должен быть равен 1.
$n-4 = 1$
$n = 5$

Проверим это значение. Если $n=5$, то выражение равно:
$(5-4)(5+6) = 1 \cdot 11 = 11$.
Число 11 является простым. Таким образом, $n=5$ — единственное решение.
Ответ: 5

3.

Нужно найти все нечётные натуральные значения $n$, при которых выражение $4^n + 1$ является составным числом.

Воспользуемся формулой суммы нечётных степеней: $a^k + b^k = (a+b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$, которая верна для любого нечётного натурального $k$.

Поскольку $n$ — нечётное число, мы можем применить эту формулу к выражению $4^n + 1^n$:
$4^n + 1 = 4^n + 1^n = (4+1)(4^{n-1} - 4^{n-2} \cdot 1 + \dots - 4 \cdot 1^{n-2} + 1^{n-1}) = 5 \cdot (4^{n-1} - 4^{n-2} + \dots - 4 + 1)$.

Это разложение показывает, что число $4^n + 1$ всегда делится на 5 при нечётном $n$.

Число является составным, если оно больше своего простого делителя. В данном случае, если $4^n+1 > 5$, то оно будет составным, так как имеет делитель 5.
Рассмотрим случаи:
1. Если $n=1$ (нечётное), то $4^1 + 1 = 5$. Число 5 является простым, а не составным. Это происходит потому, что второй множитель в разложении равен 1: $(4^{1-1}) = 4^0 = 1$.
2. Если $n$ — любое нечётное натуральное число, большее 1 (т.е., $n \in \{3, 5, 7, \dots\}$), то $4^n + 1 > 4^1 + 1 = 5$.
В этом случае второй множитель $K = 4^{n-1} - 4^{n-2} + \dots + 1$ будет больше 1. Например, при $n=3$, $K=4^2-4+1=13$. Так как $4^n+1$ имеет делитель 5 и само число больше 5, оно является составным.

Таким образом, выражение $4^n+1$ является составным для всех нечётных натуральных значений $n$, кроме $n=1$.
Ответ: все нечётные натуральные числа $n > 1$.

4.

По условию, натуральное число $n$ таково, что числа $n-6$ и $n-43$ делятся нацело на простое число $p$.

Это означает, что $p$ является общим делителем чисел $n-6$ и $n-43$.
Из свойств делимости известно, что если число $p$ является делителем двух чисел, то оно также является делителем их разности.

Найдём разность чисел $n-6$ и $n-43$:
$(n-6) - (n-43) = n - 6 - n + 43 = 37$.

Следовательно, число 37 должно делиться нацело на $p$.
Поскольку $p$ — простое число, а 37 само является простым числом (его натуральные делители только 1 и 37), то $p$ может быть равно только 37.

Такие числа $n$ существуют. Например, если $n=43$, то $n-6=37$ (делится на 37) и $n-43=0$ (делится на 37).
Ответ: 37