Номер 16, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 16, страница 54.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Делимость нацело и её свойства

1. Числа $m$ и $n$ таковы, что $m : 5$, $n : 8$. Докажите, что $(8m + 5n) : 40$.

2. Числа $x$ и $y$ таковы, что значение каждого из выражений $x - 8$ и $y + 46$ кратно 19. Докажите, что значение выражения $x + y$ кратно 19.

3. Решите в целых числах уравнение $x^2 + 4x - 3xy - 12y = 11$.

4. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + ... + 22^n$ кратно 23.

Решение.

1.

По условию число $m$ делится на 5, а число $n$ делится на 8. Это можно записать как $m \vdots 5$ и $n \vdots 8$.

Если число делится на некоторое число, то и произведение этого числа на любой целый множитель также будет делиться на это число. Используем свойства делимости.

1. Так как $m \vdots 5$, то $8m$ делится на $8 \cdot 5 = 40$. То есть $8m \vdots 40$.
Это следует из того, что если $m = 5k$ для некоторого целого $k$, то $8m = 8(5k) = 40k$, что очевидно делится на 40.

2. Так как $n \vdots 8$, то $5n$ делится на $5 \cdot 8 = 40$. То есть $5n \vdots 40$.
Это следует из того, что если $n = 8l$ для некоторого целого $l$, то $5n = 5(8l) = 40l$, что очевидно делится на 40.

3. Если два числа делятся на 40, то их сумма также делится на 40. Поскольку $8m \vdots 40$ и $5n \vdots 40$, то и их сумма $(8m + 5n) \vdots 40$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что $(8m+5n)$ кратно 40.

2.

По условию, значения выражений $x - 8$ и $y + 46$ кратны 19. Запишем это в виде:

$(x - 8) \vdots 19$

$(y + 46) \vdots 19$

Согласно свойству делимости, если два числа делятся на некоторое число, то их сумма также делится на это число. Сложим данные выражения:

$(x - 8) + (y + 46) = x + y + 38$

Так как оба слагаемых $(x - 8)$ и $(y + 46)$ делятся на 19, то и их сумма $(x + y + 38)$ делится на 19.

Заметим, что число 38 также делится на 19, поскольку $38 = 2 \cdot 19$.

Теперь воспользуемся другим свойством делимости: если сумма двух чисел и одно из слагаемых делятся на некоторое число, то и второе слагаемое также делится на это число.

В выражении $(x + y) + 38$ вся сумма делится на 19, и слагаемое 38 делится на 19. Следовательно, первое слагаемое $(x+y)$ также должно делиться на 19.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что значение выражения $x+y$ кратно 19.

3.

Дано уравнение $x^2 + 4x - 3xy - 12y = 11$. Для решения в целых числах разложим левую часть на множители методом группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 4x) + (-3xy - 12y) = 11$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x + 4) - 3y(x + 4) = 11$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+4)$:

$(x + 4)(x - 3y) = 11$

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то выражения в скобках $(x+4)$ и $(x-3y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно простому числу 11. Это означает, что множители могут быть только целочисленными делителями числа 11, то есть $1, -1, 11, -11$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1) $\begin{cases} x + 4 = 1 \\ x - 3y = 11 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = 1 - 4 = -3$.
Подставляем во второе: $-3 - 3y = 11 \implies -3y = 14 \implies y = -14/3$. Это не целое число, поэтому данная пара не является решением.

2) $\begin{cases} x + 4 = -1 \\ x - 3y = -11 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = -1 - 4 = -5$.
Подставляем во второе: $-5 - 3y = -11 \implies -3y = -6 \implies y = 2$. Пара $(-5, 2)$ — целочисленное решение.

3) $\begin{cases} x + 4 = 11 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = 11 - 4 = 7$.
Подставляем во второе: $7 - 3y = 1 \implies -3y = -6 \implies y = 2$. Пара $(7, 2)$ — целочисленное решение.

4) $\begin{cases} x + 4 = -11 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = -11 - 4 = -15$.
Подставляем во второе: $-15 - 3y = -1 \implies -3y = 14 \implies y = -14/3$. Это не целое число.

Таким образом, уравнение имеет два решения в целых числах.

Ответ: $(-5, 2)$, $(7, 2)$.

4.

Требуется доказать, что при любом нечётном натуральном $n$ сумма $S = 1^n + 2^n + \dots + 22^n$ делится на 23.

В сумме S 22 слагаемых. Сгруппируем их попарно, соединяя первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее:

$S = (1^n + 22^n) + (2^n + 21^n) + \dots + (11^n + 12^n)$

Всего получилось 11 таких пар.

Воспользуемся формулой суммы степеней: если $n$ — нечётное натуральное число, то $a^n + b^n$ всегда делится на $a+b$, так как $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.

Рассмотрим каждую пару в нашей сумме:

• Для пары $(1^n + 22^n)$: так как $n$ нечётно, эта сумма делится на $1 + 22 = 23$.
• Для пары $(2^n + 21^n)$: так как $n$ нечётно, эта сумма делится на $2 + 21 = 23$.
• ...
• Для последней пары $(11^n + 12^n)$: так как $n$ нечётно, эта сумма делится на $11 + 12 = 23$.

Таким образом, вся сумма $S$ является суммой 11 слагаемых, каждое из которых делится на 23. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Следовательно, выражение $1^n + 2^n + \dots + 22^n$ кратно 23 при любом нечётном натуральном $n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + \dots + 22^n$ кратно 23.