Номер 12, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 12, страница 52.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Рациональные уравнения с параметрами

1. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x+6}{x-a}=0$;

2) $\frac{(x+a)(x-2)}{x-5}=0$;

3) $\frac{x+a}{x-2}=a-1$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнения $(a-2)(x+1)=0$ и $a^2+x=2a-1$ равносильны?

Решение.

1)

Дано уравнение $\frac{x+6}{x-a} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравниваем числитель к нулю: $x+6=0$, откуда получаем $x=-6$.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-a \neq 0$. Подставим найденное значение $x=-6$:
$-6 - a \neq 0$, что означает $a \neq -6$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $a \neq -6$, то корень $x=-6$ не обращает знаменатель в ноль и является решением уравнения.
2. Если $a = -6$, уравнение принимает вид $\frac{x+6}{x+6} = 0$. В области определения ($x \neq -6$) это уравнение равносильно $1=0$, что неверно. Следовательно, при $a=-6$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = -6$, то корней нет; если $a \neq -6$, то $x = -6$.

2)

Дано уравнение $\frac{(x+a)(x-2)}{x-5} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравниваем числитель к нулю: $(x+a)(x-2)=0$. Отсюда получаем два потенциальных корня: $x_1 = -a$ и $x_2 = 2$.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Проверим наши корни на соответствие этому условию.
Корень $x_2=2$ всегда является решением, так как $2 \neq 5$.
Корень $x_1=-a$ является решением, если $-a \neq 5$, то есть $a \neq -5$.

Также рассмотрим случай, когда корни совпадают: $x_1 = x_2$, то есть $-a=2$, откуда $a=-2$.

Рассмотрим все случаи для параметра $a$:
1. Если $a = -5$, то первый корень $x_1 = -(-5) = 5$. Этот корень совпадает со значением, при котором знаменатель обращается в ноль, поэтому он не является решением. Остается только второй корень $x=2$.
2. Если $a = -2$, то корни совпадают: $x_1 = -(-2) = 2$ и $x_2=2$. Так как $2 \neq 5$, решением является $x=2$.
3. Если $a \neq -5$ и $a \neq -2$, то уравнение имеет два различных корня $x=-a$ и $x=2$, и ни один из них не равен 5.

Ответ: если $a = -5$ или $a = -2$, то $x = 2$; если $a \neq -5$ и $a \neq -2$, то $x_1 = -a$, $x_2 = 2$.

3)

Дано уравнение $\frac{x+a}{x-2} = a-1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на $(x-2)$:
$x+a = (a-1)(x-2)$
$x+a = ax - 2a - x + 2$
$x+x-ax = 2-a-2a$
$2x-ax = 2-3a$
$x(2-a) = 2-3a$

Рассмотрим случаи в зависимости от значения коэффициента при $x$:
1. Если $2-a = 0$, то есть $a=2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2 - 3 \cdot 2$, что равно $0 = -4$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=2$ корней нет.
2. Если $2-a \neq 0$, то есть $a \neq 2$. Можно выразить $x$: $x = \frac{2-3a}{2-a}$.
Теперь нужно проверить, не нарушает ли этот корень ОДЗ ($x \neq 2$). Найдем, при каком $a$ корень равен 2:
$\frac{2-3a}{2-a} = 2$
$2-3a = 2(2-a)$
$2-3a = 4-2a$
$-a = 2$
$a = -2$
Таким образом, при $a=-2$ найденный корень $x=2$ не входит в ОДЗ, а значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 2$ или $a = -2$, то корней нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{2-3a}{2-a}$.

2.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $(a-2)(x+1) = 0$.
1. Если $a-2=0$, то есть $a=2$, уравнение принимает вид $0 \cdot (x+1) = 0$. Это равенство верно для любого $x$. Множество решений: $x \in \mathbb{R}$.
2. Если $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, можно разделить обе части на $(a-2)$, получим $x+1=0$, откуда $x=-1$. Множество решений: $\{-1\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $a^2+x=2a-1$.
Это линейное уравнение относительно $x$. Выразим $x$:
$x = 2a-1-a^2$
$x = -(a^2-2a+1)$
$x = -(a-1)^2$
Для любого значения параметра $a$ это уравнение имеет единственное решение. Множество решений: $\{-(a-1)^2\}$.

Теперь найдем значения $a$, при которых множества решений уравнений совпадают.
Случай 1: $a=2$. Решение первого уравнения $x \in \mathbb{R}$. Решение второго уравнения: $x = -(2-1)^2 = -1$. Множества решений ($\mathbb{R}$ и $\{-1\}$) не совпадают.
Случай 2: $a \neq 2$. Решение первого уравнения $x=-1$. Для равносильности необходимо, чтобы решение второго уравнения также было равно -1.
$-(a-1)^2 = -1$
$(a-1)^2 = 1$
Это уравнение распадается на два:
$a-1=1$, откуда $a=2$. Но это значение не удовлетворяет условию $a \neq 2$.
$a-1=-1$, откуда $a=0$. Это значение удовлетворяет условию $a \neq 2$.

Проверим $a=0$:
Первое уравнение: $(0-2)(x+1)=0 \implies -2(x+1)=0 \implies x=-1$.
Второе уравнение: $0^2+x=2(0)-1 \implies x=-1$.
Множества решений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны при $a=0$.

Ответ: $a=0$.