Номер 6, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 6, страница 48.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Основное свойство рациональной дроби

1. Сократите дробь:

1) $ \frac{20x^2 - 5x}{6 - 24x} $

2) $ \frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25} $

3) $ \frac{a^5 - a^7}{a^6 - a^4} $

4) $ \frac{a^3 + 216}{2a + 12} $

5) $ \frac{am - mb - 6a + 6b}{m^2 - 36} $

6) $ \frac{(2m - 8n)^2}{4n - m} $

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $ \frac{3}{4m^2n} $ и $ \frac{7}{8n^5} $

2) $ \frac{2m}{3m - n} $ и $ \frac{5n}{m + 2n} $

3) $ \frac{4m}{3m - n} $, $ \frac{3}{9m^2 - n^2} $ и $ \frac{1}{9m^2 - 6mn + n^2} $

3. Постройте график функции $ y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2} $

4. Решите уравнение $ \frac{x^2 - 9}{x + 3} = -6 $

Решение.

1. Сократите дробь:

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{20x^2 - 5x}{6 - 24x} $, разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $ 5x $: $ 20x^2 - 5x = 5x(4x - 1) $. В знаменателе вынесем за скобки $ 6 $: $ 6 - 24x = 6(1 - 4x) $. Для удобства сокращения, вынесем $ -6 $: $ 6(1 - 4x) = -6(4x - 1) $. Дробь примет вид: $ \frac{5x(4x - 1)}{-6(4x - 1)} $. Сократим дробь на общий множитель $ (4x - 1) $, при условии, что $ 4x - 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{1}{4} $. Получим: $ \frac{5x}{-6} = -\frac{5x}{6} $.
Ответ: $ -\frac{5x}{6} $.

2) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25} $, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения. Числитель — это разность квадратов: $ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) $. Знаменатель — это квадрат разности: $ x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $. Дробь примет вид: $ \frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)^2} $. Сократим дробь на общий множитель $ (x - 5) $, при условии, что $ x - 5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Получим: $ \frac{x + 5}{x - 5} $.
Ответ: $ \frac{x + 5}{x - 5} $.

3) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^5 - a^7}{a^6 - a^4} $, вынесем общие множители за скобки. В числителе: $ a^5 - a^7 = a^5(1 - a^2) $. В знаменателе: $ a^6 - a^4 = a^4(a^2 - 1) $. Дробь примет вид: $ \frac{a^5(1 - a^2)}{a^4(a^2 - 1)} $. Заметим, что $ 1 - a^2 = -(a^2 - 1) $. Получим: $ \frac{a^5(-(a^2 - 1))}{a^4(a^2 - 1)} $. Сократим на $ a^4 $ и $ (a^2 - 1) $, при условии, что $ a \neq 0, a \neq 1, a \neq -1 $. В результате останется $ \frac{a(-1)}{1} = -a $.
Ответ: $ -a $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 + 216}{2a + 12} $, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это сумма кубов: $ a^3 + 216 = a^3 + 6^3 = (a + 6)(a^2 - 6a + 36) $. В знаменателе вынесем общий множитель $ 2 $: $ 2a + 12 = 2(a + 6) $. Дробь примет вид: $ \frac{(a + 6)(a^2 - 6a + 36)}{2(a + 6)} $. Сократим дробь на общий множитель $ (a + 6) $, при условии, что $ a + 6 \neq 0 $, то есть $ a \neq -6 $. Получим: $ \frac{a^2 - 6a + 36}{2} $.
Ответ: $ \frac{a^2 - 6a + 36}{2} $.

5) Чтобы сократить дробь $ \frac{am - mb - 6a + 6b}{m^2 - 36} $, разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки: $ (am - mb) - (6a - 6b) = m(a - b) - 6(a - b) = (m - 6)(a - b) $. Знаменатель — это разность квадратов: $ m^2 - 36 = (m - 6)(m + 6) $. Дробь примет вид: $ \frac{(m - 6)(a - b)}{(m - 6)(m + 6)} $. Сократим дробь на общий множитель $ (m - 6) $, при условии, что $ m - 6 \neq 0 $, то есть $ m \neq 6 $. Получим: $ \frac{a - b}{m + 6} $.
Ответ: $ \frac{a - b}{m + 6} $.

6) Чтобы сократить дробь $ \frac{(2m - 8n)^2}{4n - m} $, преобразуем числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель $ 2 $ из скобок: $ (2m - 8n)^2 = (2(m - 4n))^2 = 4(m - 4n)^2 $. В знаменателе вынесем $ -1 $: $ 4n - m = -(m - 4n) $. Дробь примет вид: $ \frac{4(m - 4n)^2}{-(m - 4n)} $. Сократим дробь на общий множитель $ (m - 4n) $, при условии, что $ m - 4n \neq 0 $. Получим: $ \frac{4(m - 4n)}{-1} = -4(m - 4n) = 16n - 4m $.
Ответ: $ 16n - 4m $.

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $ \frac{3}{4m^2n} $ и $ \frac{7}{8n^5} $. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ 4m^2n $ и $ 8n^5 $. НОЗ для коэффициентов 4 и 8 равен 8. НОЗ для переменных будет содержать каждую переменную в наибольшей степени: $ m^2 $ и $ n^5 $. Таким образом, НОЗ = $ 8m^2n^5 $. Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель: $ \frac{8m^2n^5}{4m^2n} = 2n^4 $. $ \frac{3}{4m^2n} = \frac{3 \cdot 2n^4}{4m^2n \cdot 2n^4} = \frac{6n^4}{8m^2n^5} $. Для второй дроби дополнительный множитель: $ \frac{8m^2n^5}{8n^5} = m^2 $. $ \frac{7}{8n^5} = \frac{7 \cdot m^2}{8n^5 \cdot m^2} = \frac{7m^2}{8m^2n^5} $.
Ответ: $ \frac{6n^4}{8m^2n^5} $ и $ \frac{7m^2}{8m^2n^5} $.

2) $ \frac{2m}{3m - n} $ и $ \frac{5n}{m + 2n} $. Знаменатели $ (3m - n) $ и $ (m + 2n) $ не имеют общих множителей. Общий знаменатель равен их произведению: $ (3m - n)(m + 2n) $. Для первой дроби дополнительный множитель $ (m + 2n) $: $ \frac{2m}{3m - n} = \frac{2m(m + 2n)}{(3m - n)(m + 2n)} = \frac{2m^2 + 4mn}{(3m - n)(m + 2n)} $. Для второй дроби дополнительный множитель $ (3m - n) $: $ \frac{5n}{m + 2n} = \frac{5n(3m - n)}{(m + 2n)(3m - n)} = \frac{15mn - 5n^2}{(3m - n)(m + 2n)} $.
Ответ: $ \frac{2m(m + 2n)}{(3m - n)(m + 2n)} $ и $ \frac{5n(3m - n)}{(3m - n)(m + 2n)} $.

3) $ \frac{4m}{3m - n} $, $ \frac{3}{9m^2 - n^2} $ и $ \frac{1}{9m^2 - 6mn + n^2} $. Сначала разложим знаменатели на множители: $ 3m - n $ — уже простой множитель. $ 9m^2 - n^2 = (3m - n)(3m + n) $ (разность квадратов). $ 9m^2 - 6mn + n^2 = (3m - n)^2 $ (квадрат разности). Наименьший общий знаменатель должен содержать каждый множитель в наивысшей степени: $ (3m - n)^2 (3m + n) $. Приведем дроби к этому знаменателю: Для первой дроби $ \frac{4m}{3m - n} $ дополнительный множитель $ (3m - n)(3m + n) $: $ \frac{4m(3m - n)(3m + n)}{(3m - n)(3m - n)(3m + n)} = \frac{4m(9m^2 - n^2)}{(3m - n)^2 (3m + n)} $. Для второй дроби $ \frac{3}{(3m - n)(3m + n)} $ дополнительный множитель $ (3m - n) $: $ \frac{3(3m - n)}{(3m - n)(3m + n)(3m - n)} = \frac{3(3m - n)}{(3m - n)^2 (3m + n)} $. Для третьей дроби $ \frac{1}{(3m - n)^2} $ дополнительный множитель $ (3m + n) $: $ \frac{1(3m + n)}{(3m - n)^2(3m + n)} = \frac{3m + n}{(3m - n)^2 (3m + n)} $.
Ответ: $ \frac{4m(9m^2 - n^2)}{(3m - n)^2 (3m + n)} $, $ \frac{3(3m - n)}{(3m - n)^2 (3m + n)} $ и $ \frac{3m + n}{(3m - n)^2 (3m + n)} $.

3. Постройте график функции $ y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2} $

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: $ x + 2 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $.
2. Упростим выражение для функции. Числитель является полным квадратом: $ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $.
3. Подставим это в функцию: $ y = \frac{(x + 2)^2}{x + 2} $. При $ x \neq -2 $ мы можем сократить дробь на $ (x + 2) $: $ y = x + 2 $.
4. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $ y = x + 2 $ за исключением одной точки. Эта точка — "выколотая" точка, ее абсцисса $ x = -2 $.
5. Найдем ординату выколотой точки, подставив $ x = -2 $ в уравнение прямой: $ y = -2 + 2 = 0 $. Координаты выколотой точки: $ (-2, 0) $.
6. Для построения прямой $ y = x + 2 $ найдем две точки: - если $ x = 0 $, то $ y = 2 $. Точка (0, 2). - если $ x = 1 $, то $ y = 3 $. Точка (1, 3).
Графиком является прямая, проходящая через точки (0, 2) и (1, 3), с выколотой точкой в $ (-2, 0) $.
Ответ: Графиком функции является прямая $ y = x + 2 $ с выколотой точкой $ (-2, 0) $.

4. Решите уравнение $ \frac{x^2 - 9}{x + 3} = -6 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ x + 3 \neq 0 $, откуда $ x \neq -3 $.
2. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $.
3. Уравнение примет вид: $ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = -6 $.
4. На ОДЗ (где $ x \neq -3 $) мы можем сократить дробь на $ (x + 3) $: $ x - 3 = -6 $.
5. Решим полученное линейное уравнение: $ x = -6 + 3 $ $ x = -3 $.
6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы получили $ x = -3 $, но ОДЗ требует, чтобы $ x \neq -3 $. Следовательно, найденное значение $ x = -3 $ является посторонним корнем и не может быть решением исходного уравнения.
Ответ: корней нет.