Номер 41, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 41, страница 45.

Условие.

Самостоятельная работа № 41

Корни многочлена. Теорема Безу.

Целое рациональное уравнение

1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ на двучлен $x + 3$.

2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x - 4)^{2n} + (x - 3)^n - 1$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 - 7x + 12$.

3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 - 5x^2 + ax + 4$ при делении на двучлен $x + 2$ даёт в остатке 8?

4. Решите уравнение $2x^4 - x^3 - 14x^2 + 19x - 6 = 0$.

Решение.

1. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$. В данном случае многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ делится на $x + 3$, что можно записать как $x - (-3)$. Следовательно, искомый остаток равен $P(-3)$.
Вычислим значение многочлена при $x = -3$:
$P(-3) = (-3)^3 - 2(-3)^2 + 3(-3) - 5 = -27 - 2 \cdot 9 - 9 - 5 = -27 - 18 - 9 - 5 = -59$.
Ответ: -59

2. Пусть $P(x) = (x - 4)^{2n} + (x - 3)^n - 1$. Чтобы доказать, что многочлен $P(x)$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 - 7x + 12$, необходимо показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также и корнями многочлена $P(x)$.
Сначала найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $Q(x)$ можно разложить на множители: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.
Теперь проверим, являются ли значения $x=3$ и $x=4$ корнями многочлена $P(x)$, то есть, равны ли $P(3)$ и $P(4)$ нулю.
При $x = 3$:
$P(3) = (3 - 4)^{2n} + (3 - 3)^n - 1 = (-1)^{2n} + 0^n - 1$.
Поскольку $n \in \mathbb{N}$ (натуральное число), показатель $2n$ всегда является четным числом, поэтому $(-1)^{2n} = 1$. Также $0^n = 0$ для любого натурального $n$.
$P(3) = 1 + 0 - 1 = 0$.
При $x = 4$:
$P(4) = (4 - 4)^{2n} + (4 - 3)^n - 1 = 0^{2n} + 1^n - 1$.
Поскольку $n \in \mathbb{N}$, $2n \ge 2$, то $0^{2n} = 0$. Также $1^n = 1$.
$P(4) = 0 + 1 - 1 = 0$.
Так как $P(3) = 0$ и $P(4) = 0$, многочлен $P(x)$ делится нацело и на $(x-3)$, и на $(x-4)$, а следовательно, и на их произведение $x^2 - 7x + 12$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3. Обозначим многочлен как $P(x) = x^3 - 5x^2 + ax + 4$. По теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x + 2$ (или $x - (-2)$) равен значению многочлена в точке $x = -2$, то есть $P(-2)$.
По условию задачи, этот остаток равен 8. Составим и решим уравнение: $P(-2) = 8$.
Подставим $x = -2$ в выражение для многочлена:
$P(-2) = (-2)^3 - 5(-2)^2 + a(-2) + 4 = -8 - 5(4) - 2a + 4 = -8 - 20 - 2a + 4 = -24 - 2a$.
Теперь приравняем полученное выражение к 8:
$-24 - 2a = 8$
$-2a = 8 + 24$
$-2a = 32$
$a = -16$.
Ответ: -16

4. Требуется решить целое рациональное уравнение $2x^4 - x^3 - 14x^2 + 19x - 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если у уравнения есть рациональные корни вида $p/q$, то $p$ является делителем свободного члена (-6), а $q$ – делителем старшего коэффициента (2).
Делители $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Делители $q$: $\pm 1, \pm 2$.
Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$.
Проверим некоторые из этих значений подстановкой в уравнение. Пусть $P(x) = 2x^4 - x^3 - 14x^2 + 19x - 6$.
$P(1) = 2(1)^4 - (1)^3 - 14(1)^2 + 19(1) - 6 = 2 - 1 - 14 + 19 - 6 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ является корнем.
$P(2) = 2(2)^4 - (2)^3 - 14(2)^2 + 19(2) - 6 = 2 \cdot 16 - 8 - 14 \cdot 4 + 38 - 6 = 32 - 8 - 56 + 38 - 6 = 0$. Значит, $x_2 = 2$ является корнем.
Поскольку $x=1$ и $x=2$ являются корнями, многочлен $P(x)$ делится на произведение $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$. Выполним деление многочленов (например, столбиком):
$(2x^4 - x^3 - 14x^2 + 19x - 6) : (x^2 - 3x + 2) = 2x^2 + 5x - 3$.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде: $(x - 1)(x - 2)(2x^2 + 5x - 3) = 0$.
Осталось найти корни квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
$x_3 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_4 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Все корни исходного уравнения: $1, 2, \frac{1}{2}, -3$.
Ответ: $\{-3; 0,5; 1; 2\}$