Номер 36, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 36, страница 43.

Условие.

Самостоятельная работа № 36

Квадратный трёхчлен

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $-x^2 - 4x + 21$;

2) $8x^2 - 2x - 3$.

2. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 4}$;

2) $\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}$.

3. Упростите выражение:

$\frac{3y^2 - 10y + 8}{4y^2 - 36} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} + \frac{0,25 - y}{y + 3}$.

4. Решите неравенство:

1) $2x^2 - 7x + 13 > 0$;

2) $(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 3x + 8) \ge 0$.

5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-3x^2 - ax + 8$ содержит множитель $x + 4$?

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $9x^2 - 10xy + y^2 = 0$.

Решение.

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1)

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, воспользуемся формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдём корни трёхчлена $-x^2 - 4x + 21$, решив уравнение:

$-x^2 - 4x + 21 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

Теперь подставим корни в формулу разложения. Здесь $a = -1$.

$-x^2 - 4x + 21 = -1 \cdot (x - 3)(x - (-7)) = -(x - 3)(x + 7)$.

Ответ: $-(x - 3)(x + 7)$.

2)

Разложим на множители трёхчлен $8x^2 - 2x - 3$.

Найдём корни уравнения $8x^2 - 2x - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.

Корни:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 10}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 10}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

Подставим корни в формулу разложения, где $a = 8$.

$8x^2 - 2x - 3 = 8(x - \frac{3}{4})(x - (-\frac{1}{2})) = 8(x - \frac{3}{4})(x + \frac{1}{2})$.

Для удобства можно внести множитель 8 в скобки: $8(x - \frac{3}{4})(x + \frac{1}{2}) = 4(x - \frac{3}{4}) \cdot 2(x + \frac{1}{2}) = (4x - 3)(2x + 1)$.

Ответ: $(4x - 3)(2x + 1)$.

2. Сократите дробь:

1)

$\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 4}$

Разложим числитель $x^2 + 3x - 4$ на множители. Найдём корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 x_2 = -4$. Подбором находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Тогда $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(x - 1)(x + 4)}{x + 4}$

Сокращаем на $(x+4)$ при условии, что $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

$\frac{(x - 1)(x + 4)}{x + 4} = x - 1$.

Ответ: $x - 1$.

2)

$\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $4a^2 + 12a + 9$ является полным квадратом: $(2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = (2a + 3)^2$.

Для знаменателя $2a^2 + a - 3$ найдём корни уравнения $2a^2 + a - 3 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$

Следовательно, $2a^2 + a - 3 = 2(a - 1)(a + \frac{3}{2}) = (a - 1)(2a + 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2a + 3)^2}{(a - 1)(2a + 3)}$

Сокращаем на $(2a+3)$ при условии, что $2a+3 \neq 0$.

$\frac{(2a + 3)^2}{(a - 1)(2a + 3)} = \frac{2a + 3}{a - 1}$.

Ответ: $\frac{2a + 3}{a - 1}$.

3. Упростите выражение:

$\frac{3y^2 - 10y + 8}{4y^2 - 36} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} + \frac{0.25 - y}{y + 3}$

Упростим выражение по частям. Сначала выполним умножение.

Разложим на множители числитель $3y^2 - 10y + 8$. Корни уравнения $3y^2 - 10y + 8 = 0$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.

$y_1 = \frac{10 + 2}{6} = 2$, $y_2 = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

$3y^2 - 10y + 8 = 3(y - 2)(y - \frac{4}{3}) = (y - 2)(3y - 4)$.

Разложим на множители знаменатель $4y^2 - 36 = 4(y^2 - 9) = 4(y - 3)(y + 3)$.

Выполним умножение и сокращение дробей:

$\frac{(y - 2)(3y - 4)}{4(y - 3)(y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} = \frac{3y - 4}{4(y + 3)}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{3y - 4}{4(y + 3)} + \frac{0.25 - y}{y + 3}$

Приведём вторую дробь к общему знаменателю $4(y+3)$, умножив её числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4(0.25 - y)}{4(y + 3)} = \frac{1 - 4y}{4(y + 3)}$.

Сложим дроби:

$\frac{3y - 4}{4(y + 3)} + \frac{1 - 4y}{4(y + 3)} = \frac{3y - 4 + 1 - 4y}{4(y + 3)} = \frac{-y - 3}{4(y + 3)} = \frac{-(y + 3)}{4(y + 3)}$.

Сократим на $(y+3)$:

$-\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

4. Решите неравенство:

1)

$2x^2 - 7x + 13 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - 7x + 13$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как старший коэффициент $a=2 > 0$.

Найдём точки пересечения параболы с осью Ox, для этого решим уравнение $2x^2 - 7x + 13 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 49 - 104 = -55$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox.

Следовательно, выражение $2x^2 - 7x + 13$ положительно при любых значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2)

$(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 3x + 8) \ge 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Рассмотрим второй множитель $x^2 - 3x + 8$. Найдём знак этого выражения. Для этого исследуем уравнение $x^2 - 3x + 8 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 8$ всегда принимает положительные значения.

Поскольку второй множитель всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака первого множителя $(\sqrt{x} - 2)$.

Неравенство сводится к следующему:

$\sqrt{x} - 2 \ge 0$

$\sqrt{x} \ge 2$

Возведём обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):

$x \ge 4$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $[4; +\infty)$.

5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-3x^2 - ax + 8$ содержит множитель $x + 4$?

Если разложение трёхчлена $P(x) = -3x^2 - ax + 8$ содержит множитель $(x + 4)$, то по теореме Безу, число $x = -4$ является корнем этого трёхчлена. Это значит, что при подстановке $x = -4$ в трёхчлен, его значение должно быть равно нулю.

$P(-4) = -3(-4)^2 - a(-4) + 8 = 0$

$-3(16) + 4a + 8 = 0$

$-48 + 4a + 8 = 0$

$-40 + 4a = 0$

$4a = 40$

$a = 10$

Ответ: $a = 10$.

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $9x^2 - 10xy + y^2 = 0$.

Рассмотрим уравнение $9x^2 - 10xy + y^2 = 0$ как квадратное уравнение относительно переменной $y$.

$y^2 - (10x)y + 9x^2 = 0$

Можно решить его, используя формулу корней квадратного уравнения, или разложить левую часть на множители. Найдём два выражения, произведение которых равно $9x^2$, а сумма равна $-10x$. Это $-x$ и $-9x$.

Тогда левую часть можно разложить на множители:

$(y - x)(y - 9x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:

$y - x = 0 \quad$ или $\quad y - 9x = 0$

$y = x \quad$ или $\quad y = 9x$

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному равенству, представляет собой объединение двух прямых:

1. $y = x$ — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

2. $y = 9x$ — прямая, также проходящая через начало координат, но с большим угловым коэффициентом, равным 9.

Графиком является пара пересекающихся в точке $(0; 0)$ прямых.

Ответ: Множество точек — это две прямые, $y = x$ и $y = 9x$, пересекающиеся в начале координат.