Номер 36, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 36, страница 43.
№36 (с. 43)
Условие. №36 (с. 43)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 36
Квадратный трёхчлен
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
1) $-x^2 - 4x + 21$;
2) $8x^2 - 2x - 3$.
2. Сократите дробь:
1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 4}$;
2) $\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}$.
3. Упростите выражение:
$\frac{3y^2 - 10y + 8}{4y^2 - 36} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} + \frac{0,25 - y}{y + 3}$.
4. Решите неравенство:
1) $2x^2 - 7x + 13 > 0$;
2) $(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 3x + 8) \ge 0$.
5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-3x^2 - ax + 8$ содержит множитель $x + 4$?
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $9x^2 - 10xy + y^2 = 0$.
Решение. №36 (с. 43)
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
1)
Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, воспользуемся формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Найдём корни трёхчлена $-x^2 - 4x + 21$, решив уравнение:
$-x^2 - 4x + 21 = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$x^2 + 4x - 21 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$
Теперь подставим корни в формулу разложения. Здесь $a = -1$.
$-x^2 - 4x + 21 = -1 \cdot (x - 3)(x - (-7)) = -(x - 3)(x + 7)$.
Ответ: $-(x - 3)(x + 7)$.
2)
Разложим на множители трёхчлен $8x^2 - 2x - 3$.
Найдём корни уравнения $8x^2 - 2x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.
Корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 10}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 10}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$
Подставим корни в формулу разложения, где $a = 8$.
$8x^2 - 2x - 3 = 8(x - \frac{3}{4})(x - (-\frac{1}{2})) = 8(x - \frac{3}{4})(x + \frac{1}{2})$.
Для удобства можно внести множитель 8 в скобки: $8(x - \frac{3}{4})(x + \frac{1}{2}) = 4(x - \frac{3}{4}) \cdot 2(x + \frac{1}{2}) = (4x - 3)(2x + 1)$.
Ответ: $(4x - 3)(2x + 1)$.
2. Сократите дробь:
1)
$\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 4}$
Разложим числитель $x^2 + 3x - 4$ на множители. Найдём корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 x_2 = -4$. Подбором находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Тогда $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(x - 1)(x + 4)}{x + 4}$
Сокращаем на $(x+4)$ при условии, что $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.
$\frac{(x - 1)(x + 4)}{x + 4} = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.
2)
$\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $4a^2 + 12a + 9$ является полным квадратом: $(2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = (2a + 3)^2$.
Для знаменателя $2a^2 + a - 3$ найдём корни уравнения $2a^2 + a - 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$
$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$
Следовательно, $2a^2 + a - 3 = 2(a - 1)(a + \frac{3}{2}) = (a - 1)(2a + 3)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(2a + 3)^2}{(a - 1)(2a + 3)}$
Сокращаем на $(2a+3)$ при условии, что $2a+3 \neq 0$.
$\frac{(2a + 3)^2}{(a - 1)(2a + 3)} = \frac{2a + 3}{a - 1}$.
Ответ: $\frac{2a + 3}{a - 1}$.
3. Упростите выражение:
$\frac{3y^2 - 10y + 8}{4y^2 - 36} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} + \frac{0.25 - y}{y + 3}$
Упростим выражение по частям. Сначала выполним умножение.
Разложим на множители числитель $3y^2 - 10y + 8$. Корни уравнения $3y^2 - 10y + 8 = 0$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.
$y_1 = \frac{10 + 2}{6} = 2$, $y_2 = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$3y^2 - 10y + 8 = 3(y - 2)(y - \frac{4}{3}) = (y - 2)(3y - 4)$.
Разложим на множители знаменатель $4y^2 - 36 = 4(y^2 - 9) = 4(y - 3)(y + 3)$.
Выполним умножение и сокращение дробей:
$\frac{(y - 2)(3y - 4)}{4(y - 3)(y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} = \frac{3y - 4}{4(y + 3)}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{3y - 4}{4(y + 3)} + \frac{0.25 - y}{y + 3}$
Приведём вторую дробь к общему знаменателю $4(y+3)$, умножив её числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4(0.25 - y)}{4(y + 3)} = \frac{1 - 4y}{4(y + 3)}$.
Сложим дроби:
$\frac{3y - 4}{4(y + 3)} + \frac{1 - 4y}{4(y + 3)} = \frac{3y - 4 + 1 - 4y}{4(y + 3)} = \frac{-y - 3}{4(y + 3)} = \frac{-(y + 3)}{4(y + 3)}$.
Сократим на $(y+3)$:
$-\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.
4. Решите неравенство:
1)
$2x^2 - 7x + 13 > 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - 7x + 13$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как старший коэффициент $a=2 > 0$.
Найдём точки пересечения параболы с осью Ox, для этого решим уравнение $2x^2 - 7x + 13 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 49 - 104 = -55$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox.
Следовательно, выражение $2x^2 - 7x + 13$ положительно при любых значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2)
$(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 3x + 8) \ge 0$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$.
Рассмотрим второй множитель $x^2 - 3x + 8$. Найдём знак этого выражения. Для этого исследуем уравнение $x^2 - 3x + 8 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 8$ всегда принимает положительные значения.
Поскольку второй множитель всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака первого множителя $(\sqrt{x} - 2)$.
Неравенство сводится к следующему:
$\sqrt{x} - 2 \ge 0$
$\sqrt{x} \ge 2$
Возведём обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):
$x \ge 4$
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $[4; +\infty)$.
5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-3x^2 - ax + 8$ содержит множитель $x + 4$?
Если разложение трёхчлена $P(x) = -3x^2 - ax + 8$ содержит множитель $(x + 4)$, то по теореме Безу, число $x = -4$ является корнем этого трёхчлена. Это значит, что при подстановке $x = -4$ в трёхчлен, его значение должно быть равно нулю.
$P(-4) = -3(-4)^2 - a(-4) + 8 = 0$
$-3(16) + 4a + 8 = 0$
$-48 + 4a + 8 = 0$
$-40 + 4a = 0$
$4a = 40$
$a = 10$
Ответ: $a = 10$.
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $9x^2 - 10xy + y^2 = 0$.
Рассмотрим уравнение $9x^2 - 10xy + y^2 = 0$ как квадратное уравнение относительно переменной $y$.
$y^2 - (10x)y + 9x^2 = 0$
Можно решить его, используя формулу корней квадратного уравнения, или разложить левую часть на множители. Найдём два выражения, произведение которых равно $9x^2$, а сумма равна $-10x$. Это $-x$ и $-9x$.
Тогда левую часть можно разложить на множители:
$(y - x)(y - 9x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
$y - x = 0 \quad$ или $\quad y - 9x = 0$
$y = x \quad$ или $\quad y = 9x$
Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному равенству, представляет собой объединение двух прямых:
1. $y = x$ — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2. $y = 9x$ — прямая, также проходящая через начало координат, но с большим угловым коэффициентом, равным 9.
Графиком является пара пересекающихся в точке $(0; 0)$ прямых.
Ответ: Множество точек — это две прямые, $y = x$ и $y = 9x$, пересекающиеся в начале координат.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 36 расположенного на странице 43 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №36 (с. 43), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.