Номер 29, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 29, страница 39.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Свойства арифметического квадратного корня

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{(-1,12)^2}$

2) $\sqrt{30\frac{1}{4} \cdot \frac{49}{36}}$

3) $\sqrt{64 \cdot 4^2}$

4) $\sqrt{72} \cdot \sqrt{2}$

5) $\frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}$

6) $\sqrt{1,6 \cdot 14,4}$

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt{0,36x^{14}y^{18}}$, если $x \le 0$, $y \ge 0$

2) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1} \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 2)^2}}$, если $1 < x < 2$

3. При каких значениях x верно равенство:

1) $\sqrt{(x + 2)^2} = (\sqrt{2} + x)^2$

2) $\sqrt{(x - 2)(x - 5)} = \sqrt{2 - x}\sqrt{5 - x}$

4. Постройте график функции:

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$, если $x \le 0$.

5. Упростите выражение:

$\sqrt{b^2 - 13b + 48} - \sqrt{b^2 - 2b + 1}$, если $b > 1$

Решение.

1.

1) Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(-1,12)^2} = |-1,12| = 1,12$.

Ответ: 1,12.

2) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $30\frac{1}{4} = \frac{30 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{121}{4}$.

Подставим в выражение: $\sqrt{\frac{121}{4} \cdot \frac{49}{36}}$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{\frac{121}{4}} \cdot \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} = \frac{11}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{77}{12} = 6\frac{5}{12}$.

Ответ: $6\frac{5}{12}$.

3) Используем свойства степеней и корней: $\sqrt{a^m} = a^{m/2}$.

$\sqrt{6^4 \cdot 4^2} = \sqrt{6^4} \cdot \sqrt{4^2} = 6^{4/2} \cdot 4^{2/2} = 6^2 \cdot 4^1 = 36 \cdot 4 = 144$.

Ответ: 144.

4) Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{72} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{72 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

5) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{242}{2}} = \sqrt{121} = 11$.

Ответ: 11.

6) Преобразуем выражение для удобства вычислений:

$\sqrt{1,6 \cdot 14,4} = \sqrt{16 \cdot 0,1 \cdot 14,4} = \sqrt{16 \cdot 1,44}$.

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{16} \cdot \sqrt{1,44} = 4 \cdot 1,2 = 4,8$.

Ответ: 4,8.

2.

1) Упростим выражение $\sqrt{0,36x^{14}y^{18}}$, если $x \le 0, y > 0$.

$\sqrt{0,36x^{14}y^{18}} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{(x^7)^2} \cdot \sqrt{(y^9)^2} = 0,6 \cdot |x^7| \cdot |y^9|$.

Раскроем модули с учетом заданных условий:

Если $x \le 0$, то $x^7 \le 0$, следовательно $|x^7| = -x^7$.

Если $y > 0$, то $y^9 > 0$, следовательно $|y^9| = y^9$.

Подставляем раскрытые модули в выражение:

$0,6 \cdot (-x^7) \cdot y^9 = -0,6x^7y^9$.

Ответ: $-0,6x^7y^9$.

2) Упростим выражение $\frac{x^2 - 4x + 4}{x-1} \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 1}{(x-2)^2}}$, если $1 < x < 2$.

Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ и $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{(x-2)^2}{x-1} \sqrt{\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}} = \frac{(x-2)^2}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{(x-1)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}} = \frac{(x-2)^2}{x-1} \cdot \frac{|x-1|}{|x-2|}$.

Раскроем модули с учетом условия $1 < x < 2$:

Так как $x > 1$, то $x-1 > 0$, и $|x-1| = x-1$.

Так как $x < 2$, то $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

Подставим в выражение:

$\frac{(x-2)^2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{-(x-2)} = \frac{(x-2)^2}{-(x-2)} = -(x-2) = 2-x$.

Ответ: $2-x$.

3.

1) Рассмотрим равенство $\sqrt{(x+2)^2} = (\sqrt{2+x})^2$.

Левая часть: $\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$.

Правая часть: $(\sqrt{2+x})^2$. Эта часть определена только при $2+x \ge 0$, то есть $x \ge -2$. При этом условии $(\sqrt{2+x})^2 = 2+x$.

Равенство принимает вид: $|x+2| = x+2$.

Равенство $|a|=a$ верно тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

Следовательно, $x+2 \ge 0$, что означает $x \ge -2$. Это совпадает с областью определения правой части.

Ответ: $x \ge -2$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{(x-2)(x-5)} = \sqrt{2-x}\sqrt{5-x}$.

Свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ справедливо только для неотрицательных $a$ и $b$.

Правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия: $2-x \ge 0$ и $5-x \ge 0$.

Из $2-x \ge 0$ следует $x \le 2$.

Из $5-x \ge 0$ следует $x \le 5$.

Пересечением этих условий является $x \le 2$.

При $x \le 2$ оба подкоренных выражения в правой части неотрицательны, и мы можем записать: $\sqrt{2-x}\sqrt{5-x} = \sqrt{(2-x)(5-x)}$.

Преобразуем выражение под корнем в левой части: $(x-2)(x-5) = (-(2-x))(-(5-x)) = (2-x)(5-x)$.

Таким образом, левая часть равна $\sqrt{(2-x)(5-x)}$, что совпадает с преобразованной правой частью. Равенство верно для всех $x$, при которых определена его правая часть.

Ответ: $x \le 2$.

4.

Нужно построить график функции $y = \sqrt{x^2} + 2x - 1$ при $x \le 0$.

Упростим функцию. Поскольку $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $y = |x| + 2x - 1$.

По условию $x \le 0$, а для таких $x$ модуль раскрывается как $|x| = -x$.

Подставляем в уравнение функции: $y = -x + 2x - 1$, что дает $y = x - 1$.

Таким образом, для $x \le 0$ график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x - 1$. Это луч.

Для построения найдем две точки:

1. Конечная точка луча при $x = 0$: $y = 0 - 1 = -1$. Координаты точки $(0, -1)$.

2. Произвольная точка на луче, например, при $x = -3$: $y = -3 - 1 = -4$. Координаты точки $(-3, -4)$.

Графиком является луч, выходящий из точки $(0, -1)$ и проходящий через точку $(-3, -4)$.

Ответ: График функции представляет собой луч прямой $y = x - 1$ с началом в точке $(0, -1)$, расположенный в левой полуплоскости ($x \le 0$).

5.

Упростим выражение $\sqrt{b^2 - 13b + 48 - \sqrt{b^2 - 2b + 1}}$, если $b > 1$.

Начнем с внутреннего корня. Выражение под ним является полным квадратом:

$b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$.

Тогда $\sqrt{b^2 - 2b + 1} = \sqrt{(b-1)^2} = |b-1|$.

По условию $b > 1$, значит $b-1 > 0$, и $|b-1| = b-1$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{b^2 - 13b + 48 - (b-1)} = \sqrt{b^2 - 13b + 48 - b + 1} = \sqrt{b^2 - 14b + 49}$.

Выражение под внешним корнем также является полным квадратом:

$b^2 - 14b + 49 = (b-7)^2$.

Получаем: $\sqrt{(b-7)^2} = |b-7|$.

Так как в условии нет информации о соотношении $b$ и 7 (кроме $b>1$), то выражение $|b-7|$ является окончательным упрощением. Его можно записать в виде кусочной функции:

$|b-7| = \begin{cases} b-7, & \text{если } b \ge 7 \\ 7-b, & \text{если } 1 < b < 7 \end{cases}$

Ответ: $|b-7|$.