Номер 30, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 30, страница 40.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $-1,5\sqrt{192}$

2) $-7\sqrt{0,12}$

3) $\frac{3}{7}\sqrt{10\frac{8}{9}}$

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $3\sqrt{11}$

2) $-4\sqrt{3}$

3. Упростите выражение:

$\sqrt{25a} + \sqrt{36a} - \sqrt{49a}$

4. Упростите выражение:

1) $(6-\sqrt{5})(2+7\sqrt{5})$

2) $(2\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$

3) $(5-\sqrt{2})^2 + (3+\sqrt{2})^2$

4) $(\sqrt{9-4\sqrt{5}} - \sqrt{9+4\sqrt{5}})^2$

5. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 13}{x - \sqrt{13}}$

2) $\frac{b - 5\sqrt{b}}{b - 25}$

3) $\frac{x + 16\sqrt{x} + 64}{x - 64}$

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{42}{5\sqrt{7}}$

2) $\frac{14}{\sqrt{17} + \sqrt{3}}$

Решение.

1.

1) Для выражения $-1,5\sqrt{192}$ разложим число $192$ на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным квадратом: $192 = 64 \cdot 3$. Теперь можно вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. Тогда исходное выражение равно: $-1,5 \cdot 8\sqrt{3} = -12\sqrt{3}$. Ответ: $-12\sqrt{3}$.

2) Для выражения $-7\sqrt{0,12}$ представим десятичную дробь $0,12$ как произведение $0,04 \cdot 3$. Множитель $0,04$ является квадратом числа $0,2$. Тогда: $\sqrt{0,12} = \sqrt{0,04 \cdot 3} = \sqrt{0,04}\sqrt{3} = 0,2\sqrt{3}$. Исходное выражение равно: $-7 \cdot 0,2\sqrt{3} = -1,4\sqrt{3}$. Ответ: $-1,4\sqrt{3}$.

3) Для выражения $\frac{3}{7}\sqrt{10\frac{8}{9}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $10\frac{8}{9} = \frac{10 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{98}{9}$. Теперь вынесем множитель из-под корня, разложив числитель: $98 = 49 \cdot 2$. $\sqrt{\frac{98}{9}} = \frac{\sqrt{49 \cdot 2}}{\sqrt{9}} = \frac{7\sqrt{2}}{3}$. Подставим в исходное выражение: $\frac{3}{7} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$.

2.

1) Для выражения $3\sqrt{11}$, чтобы внести множитель $3$ под знак корня, возведем его в квадрат: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$. Тогда: $3\sqrt{11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{99}$. Ответ: $\sqrt{99}$.

2) Для выражения $-4\sqrt{3}$ знак минус остается перед корнем, а под корень вносим положительный множитель $4$, возведя его в квадрат: $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$. Тогда: $-4\sqrt{3} = -\sqrt{16 \cdot 3} = -\sqrt{48}$. Ответ: $-\sqrt{48}$.

3. Упростим выражение $\sqrt{25a} + \sqrt{36a} - \sqrt{49a}$. При условии $a \ge 0$ вынесем числовые множители из-под каждого корня: $\sqrt{25a} = \sqrt{25}\sqrt{a} = 5\sqrt{a}$; $\sqrt{36a} = \sqrt{36}\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$; $\sqrt{49a} = \sqrt{49}\sqrt{a} = 7\sqrt{a}$. Подставим в выражение: $5\sqrt{a} + 6\sqrt{a} - 7\sqrt{a}$. Приведем подобные слагаемые: $(5+6-7)\sqrt{a} = 4\sqrt{a}$. Ответ: $4\sqrt{a}$.

4.

1) $(6 - \sqrt{5})(2 + 7\sqrt{5})$. Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго: $6 \cdot 2 + 6 \cdot 7\sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 2 - \sqrt{5} \cdot 7\sqrt{5} = 12 + 42\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 7 \cdot 5 = 12 + 42\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 35$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(12 - 35) + (42\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = -23 + 40\sqrt{5}$. Ответ: $-23 + 40\sqrt{5}$.

2) $(2\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$. Выражение имеет вид $(a-b)(a+b)$, что равно $a^2 - b^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 2\sqrt{x}$ и $b = 5\sqrt{y}$: $(2\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2 = 2^2(\sqrt{x})^2 - 5^2(\sqrt{y})^2 = 4x - 25y$. Ответ: $4x - 25y$.

3) $(5 - \sqrt{2})^2 + (3 + \sqrt{2})^2$. Применим формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + (3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = (25 - 10\sqrt{2} + 2) + (9 + 6\sqrt{2} + 2) = (27 - 10\sqrt{2}) + (11 + 6\sqrt{2})$. Сложим рациональные и иррациональные части: $(27+11) + (-10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 38 - 4\sqrt{2}$. Ответ: $38 - 4\sqrt{2}$.

4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2$. Сначала упростим выражения под внутренними корнями, представив их в виде квадрата разности/суммы. Для этого используем формулу $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x+y=A$ и $xy=B$. Для $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$, имеем $A=9, B=20$. Числа, сумма которых равна $9$, а произведение $20$, это $5$ и $4$. Таким образом, $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$. Аналогично, для $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 2\sqrt{20}}$ получаем $\sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2$. Подставим упрощенные выражения в исходное: $((\sqrt{5}-2) - (\sqrt{5}+2))^2 = (\sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2)^2 = (-4)^2 = 16$. Ответ: $16$.

5.

1) $\frac{x^2 - 13}{x - \sqrt{13}}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2 - 13 = x^2 - (\sqrt{13})^2 = (x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$. Тогда дробь примет вид $\frac{(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})}{x - \sqrt{13}}$. Сокращаем на общий множитель $(x - \sqrt{13})$. Получаем $x + \sqrt{13}$. Ответ: $x + \sqrt{13}$.

2) $\frac{b - 5\sqrt{b}}{b - 25}$. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{b}$: $b - 5\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} - 5)$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $b - 25 = (\sqrt{b})^2 - 5^2 = (\sqrt{b} - 5)(\sqrt{b} + 5)$. Дробь примет вид $\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 5)}{(\sqrt{b} - 5)(\sqrt{b} + 5)}$. Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{b} - 5)$. Получаем $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} + 5}$. Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} + 5}$.

3) $\frac{x + 16\sqrt{x} + 64}{x - 64}$. Числитель является полным квадратом суммы: $x + 16\sqrt{x} + 64 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{x} + 8^2 = (\sqrt{x} + 8)^2$. Знаменатель является разностью квадратов: $x - 64 = (\sqrt{x})^2 - 8^2 = (\sqrt{x} - 8)(\sqrt{x} + 8)$. Дробь примет вид $\frac{(\sqrt{x} + 8)^2}{(\sqrt{x} - 8)(\sqrt{x} + 8)}$. Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{x} + 8)$. Получаем $\frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} - 8}$. Ответ: $\frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} - 8}$.

6.

1) $\frac{42}{5\sqrt{7}}$. Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$: $\frac{42 \cdot \sqrt{7}}{5\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{42\sqrt{7}}{5 \cdot 7} = \frac{42\sqrt{7}}{35}$. Сократим дробь $\frac{42}{35}$ на $7$: $\frac{6\sqrt{7}}{5}$. Ответ: $\frac{6\sqrt{7}}{5}$.

2) $\frac{14}{\sqrt{17} + \sqrt{3}}$. Чтобы освободиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{17} - \sqrt{3})$: $\frac{14(\sqrt{17} - \sqrt{3})}{(\sqrt{17} + \sqrt{3})(\sqrt{17} - \sqrt{3})}$. В знаменателе используем формулу разности квадратов: $(\sqrt{17})^2 - (\sqrt{3})^2 = 17 - 3 = 14$. Дробь примет вид $\frac{14(\sqrt{17} - \sqrt{3})}{14}$. Сокращаем на $14$. Получаем $\sqrt{17} - \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{17} - \sqrt{3}$.