Номер 31, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 31, страница 40.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{5n^2}$, если $n \le 0;$

2) $\sqrt{-b^{11}};$

3) $\sqrt{a^7b^8}$, если $b \ne 0;$

4) $\sqrt{200a^6b^3}$, если $a < 0.$

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $b\sqrt{13};$

2) $x^3\sqrt{-x};$

3) $(x - 9)\sqrt{\frac{1}{18 - 2x}}.$

3. Упростите выражение:

1) $\frac{a + b}{2a + 2\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$

2) $\left(\frac{\sqrt{b} + 7}{\sqrt{b} - 7} - \frac{28\sqrt{b}}{b - 49}\right) : \frac{\sqrt{b} - 7}{b + 7\sqrt{b}}.$

4. Известно, что $\sqrt{b - 1} - \sqrt{8 - b} = 2$. Найдите значение выражения $\sqrt{(b - 1)(8 - b)}$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{a + 6\sqrt{a - 9}}.$

Решение.

1)

Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{5n^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{5} \cdot |n|$.
По условию $n \le 0$, следовательно, $|n| = -n$.
Таким образом, $\sqrt{5n^2} = \sqrt{5} \cdot (-n) = -n\sqrt{5}$.

Ответ: $-n\sqrt{5}$.

2)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-b^{11} \ge 0$, что означает $b^{11} \le 0$, и следовательно $b \le 0$.
Представим $b^{11}$ как $b^{10} \cdot b$:
$\sqrt{-b^{11}} = \sqrt{-b \cdot b^{10}} = \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{-b} = |b^5|\sqrt{-b}$.
Так как $b \le 0$, то $b^5 \le 0$, и $|b^5| = -b^5$.
Получаем: $-b^5\sqrt{-b}$.

Ответ: $-b^5\sqrt{-b}$.

3)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^7b^8 \ge 0$. Так как $b \ne 0$, то $b^8 > 0$, следовательно, $a^7 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.
$\sqrt{a^7b^8} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot b^8} = \sqrt{a^6}\sqrt{b^8}\sqrt{a} = |a^3||b^4|\sqrt{a}$.
Так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$ и $|a^3| = a^3$.
Выражение $b^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^4| = b^4$.
Результат: $a^3b^4\sqrt{a}$.

Ответ: $a^3b^4\sqrt{a}$.

4)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $200a^6b^3 \ge 0$. По условию $a < 0$, значит $a^6 > 0$. Следовательно, $b^3 \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
$\sqrt{200a^6b^3} = \sqrt{100 \cdot 2 \cdot a^6 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{100}\sqrt{a^6}\sqrt{b^2}\sqrt{2b} = 10|a^3||b|\sqrt{2b}$.
Так как $a < 0$, то $a^3 < 0$ и $|a^3| = -a^3$.
Так как $b \ge 0$, то $|b|=b$.
Результат: $10(-a^3)b\sqrt{2b} = -10a^3b\sqrt{2b}$.

Ответ: $-10a^3b\sqrt{2b}$.

1)

Знак множителя $b$ не указан, поэтому рассмотрим два случая:
1. Если $b \ge 0$, то $b = \sqrt{b^2}$. Тогда $b\sqrt{13} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{13b^2}$.
2. Если $b < 0$, то $b = -|b| = -\sqrt{b^2}$. Тогда $b\sqrt{13} = -\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{13} = -\sqrt{13b^2}$.

Ответ: $\sqrt{13b^2}$ при $b \ge 0$; $-\sqrt{13b^2}$ при $b < 0$.

2)

Область определения выражения: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.
При $x \le 0$ множитель $x^3$ является неположительным ($x^3 \le 0$).
Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, представим его в виде $M = -|M| = -\sqrt{M^2}$.
$x^3\sqrt{-x} = -(-x^3)\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x^3)^2}\sqrt{-x} = -\sqrt{x^6(-x)} = -\sqrt{-x^7}$.

Ответ: $-\sqrt{-x^7}$.

3)

Область определения выражения: $18 - 2x > 0$, что означает $2x < 18$, то есть $x < 9$.
При $x < 9$ множитель $(x-9)$ является отрицательным.
Представим множитель в виде $x-9 = -(9-x)$. Так как $9-x > 0$, то $9-x = \sqrt{(9-x)^2}$.
$(x-9)\sqrt{\frac{1}{18-2x}} = -(9-x)\sqrt{\frac{1}{2(9-x)}} = -\sqrt{(9-x)^2 \cdot \frac{1}{2(9-x)}} = -\sqrt{\frac{(9-x)^2}{2(9-x)}}$.
Сокращаем дробь под корнем: $-\sqrt{\frac{9-x}{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{9-x}{2}}$.

1)

Преобразуем знаменатель первой дроби: $2a+2\sqrt{ab} = 2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.
Приведем дроби к общему знаменателю $2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:
$\frac{a+b}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot 2\sqrt{a}} = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$.
Числитель является полным квадратом: $a+2\sqrt{ab}+b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$.
Выражение принимает вид: $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$.
Сокращаем на $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}$.

2)

Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $b-49 = (\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)$.
$\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7} - \frac{28\sqrt{b}}{b-49} = \frac{(\sqrt{b}+7)^2}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)} - \frac{28\sqrt{b}}{b-49} = \frac{b+14\sqrt{b}+49 - 28\sqrt{b}}{b-49} = \frac{b-14\sqrt{b}+49}{b-49}$.
Числитель является полным квадратом: $b-14\sqrt{b}+49 = (\sqrt{b}-7)^2$.
Выражение в скобках равно $\frac{(\sqrt{b}-7)^2}{b-49} = \frac{(\sqrt{b}-7)^2}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)} = \frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7} : \frac{\sqrt{b}-7}{b+7\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7} \cdot \frac{b+7\sqrt{b}}{\sqrt{b}-7}$.
Сокращаем на $(\sqrt{b}-7)$ и выносим $\sqrt{b}$ в числителе второй дроби:
$\frac{b+7\sqrt{b}}{\sqrt{b}+7} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}+7)}{\sqrt{b}+7} = \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{b}$.

4.

Пусть $x = \sqrt{b-1}$ и $y = \sqrt{8-b}$. По условию $x-y=2$. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{(b-1)(8-b)} = xy$.
Область определения для $b$: $b-1 \ge 0$ и $8-b \ge 0$, то есть $1 \le b \le 8$. При этом $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Возведем $x$ и $y$ в квадрат: $x^2 = b-1$ и $y^2 = 8-b$.
Сложим эти два равенства: $x^2+y^2 = (b-1) + (8-b) = 7$.
Теперь у нас есть система уравнений:
$\begin{cases} x-y=2 \\ x^2+y^2=7 \end{cases}$
Возведем первое уравнение в квадрат: $(x-y)^2 = 2^2 \implies x^2-2xy+y^2=4$.
Подставим значение $x^2+y^2=7$:
$7-2xy=4$.
$2xy = 7-4 = 3$.
$xy = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

1)

Преобразуем подкоренное выражение к полному квадрату.
$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$.
Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 12. Это числа 4 и 3.
Следовательно, $7+2\sqrt{12} = (4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.
Тогда $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

2)

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
$\sqrt{a+6\sqrt{a-9}}$. Область определения: $a-9 \ge 0 \implies a \ge 9$.
Член $6\sqrt{a-9}$ представим как $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{a-9}$. Пусть это $2xy$, где $x=3$ и $y=\sqrt{a-9}$.
Проверим сумму квадратов $x^2+y^2$:
$x^2+y^2 = 3^2 + (\sqrt{a-9})^2 = 9 + (a-9) = a$.
Это совпадает с оставшейся частью подкоренного выражения. Значит, подкоренное выражение можно свернуть в полный квадрат:
$a+6\sqrt{a-9} = (\sqrt{a-9})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{a-9} + 3^2 = (3+\sqrt{a-9})^2$.
Следовательно, $\sqrt{a+6\sqrt{a-9}} = \sqrt{(3+\sqrt{a-9})^2} = |3+\sqrt{a-9}|$.
Так как $\sqrt{a-9} \ge 0$, выражение $3+\sqrt{a-9}$ всегда положительно.
Поэтому $\sqrt{a+6\sqrt{a-9}} = 3+\sqrt{a-9}$.

Ответ: $3+\sqrt{a-9}$.