Номер 33, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 33, страница 41.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 11x = 0$;

2) $5x^2 - 35 = 0$;

3) $x^2 + 64 = 0$.

2. При каком значении параметра $a$ число 2 является корнем уравнения $x^2 - ax - 24 = 0$?

3. Решите уравнение:

1) $(3x - 5)^2 - 5(5 + 3x) = 0$;

2) $x^2 - 9|x| = 0$;

3) $x^2 + 2|x| - 10x = 0$.

4. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (a^2 - 1)x - 3a + 1 = 0$ являются противоположными числами?

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 11x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 11) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x + 11 = 0$
$x_1 = 0$; $x_2 = -11$
Ответ: $0; -11$.

2) $5x^2 - 35 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$5x^2 = 35$
Разделим обе части на 5:
$x^2 = 7$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{7}$
$x_1 = \sqrt{7}$; $x_2 = -\sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}; -\sqrt{7}$.

3) $x^2 + 64 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = -64$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у данного уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет корней.

2. При каком значении параметра $a$ число 2 является корнем уравнения $x^2 - ax - 24 = 0$?
Если число 2 является корнем уравнения, то при подстановке $x = 2$ в уравнение мы получим верное равенство.
Подставим $x = 2$ в уравнение:
$(2)^2 - a \cdot 2 - 24 = 0$
$4 - 2a - 24 = 0$
$-20 - 2a = 0$
Перенесем $-20$ в правую часть:
$-2a = 20$
Разделим обе части на -2:
$a = -10$
Ответ: при $a = -10$.

3. Решите уравнение:

1) $(3x - 5)^2 - 5(5 + 3x) = 0$
Раскроем скобки. Для первой скобки используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 25) - (25 + 15x) = 0$
$9x^2 - 30x + 25 - 25 - 15x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$9x^2 - 45x = 0$
Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:
$9x(x - 5) = 0$
$9x = 0$ или $x - 5 = 0$
$x_1 = 0$; $x_2 = 5$
Ответ: $0; 5$.

2) $x^2 - 9|x| = 0$
Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение:
$|x|^2 - 9|x| = 0$
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 9) = 0$
Отсюда следует, что:
$|x| = 0$ или $|x| - 9 = 0$
$|x| = 0 \Rightarrow x = 0$
$|x| = 9 \Rightarrow x = 9$ или $x = -9$
Ответ: $-9; 0; 9$.

3) $x^2 + 2|x| - 10x = 0$
Это уравнение с модулем. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 + 2x - 10x = 0$
$x^2 - 8x = 0$
$x(x - 8) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 + 2(-x) - 10x = 0$
$x^2 - 2x - 10x = 0$
$x^2 - 12x = 0$
$x(x - 12) = 0$
Возможные корни: $x_3 = 0$ и $x_4 = 12$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя результаты из двух случаев, получаем корни уравнения.
Ответ: $0; 8$.

4. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (a^2 - 1)x - 3a + 1 = 0$ являются противоположными числами?
Если корни уравнения $x_1$ и $x_2$ являются противоположными числами, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
В нашем уравнении $p = a^2 - 1$.
Следовательно, $x_1 + x_2 = -(a^2 - 1)$.
Приравниваем сумму корней к нулю:
$-(a^2 - 1) = 0$
$a^2 - 1 = 0$
$(a - 1)(a + 1) = 0$
Возможные значения $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = -1$.

Также необходимо, чтобы уравнение имело два действительных корня. Для этого дискриминант $D$ должен быть больше нуля ($D > 0$). (Если корни противоположны и не равны нулю, то их произведение должно быть отрицательным).
Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = -3a + 1$.
Если корни противоположны и не равны нулю ($x_1 = k, x_2 = -k$), то их произведение $k(-k) = -k^2$ должно быть отрицательным.
Проверим найденные значения $a$:
1) При $a = 1$: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3(1) + 1 = -2$. Так как $-2 < 0$, корни имеют разные знаки. Сумма корней равна 0, значит они противоположные. Это значение $a$ нам подходит.
2) При $a = -1$: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3(-1) + 1 = 3 + 1 = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковые знаки. Их сумма равна 0 только если оба корня - мнимые числа. Проверим дискриминант: $D = (a^2-1)^2 - 4(1)(-3a+1) = ((-1)^2-1)^2 - 4(-3(-1)+1) = 0^2 - 4(4) = -16$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. Это значение $a$ нам не подходит.
Таким образом, единственное подходящее значение параметра - это $a=1$.
Ответ: при $a = 1$.