Номер 37, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 37, страница 43.

Условие.

Самостоятельная работа № 37

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

1. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 + x}{x^2 - 25} = \frac{45 - 3x}{x^2 - 25} $

2) $ \frac{5x - 8}{x - 1} = \frac{14x + 12}{3x + 5} $

3) $ \frac{x + 8}{x - 4} - \frac{4}{x - 8} = \frac{2x - 56}{(x - 4)(x - 8)} $

2. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$ \frac{x^2 - 3x + 2}{x - a} = 0. $

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$ \frac{x^2 - (a - 1)x + a - 2}{\sqrt{x - 3}} = 0 $ имеет единственное решение?

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 + x}{x^2 - 25} = \frac{45 - 3x}{x^2 - 25}$

Данное уравнение определено при условии, что знаменатель не равен нулю. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $x^2 - 25 \neq 0 \implies (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:
$x^2 + x = 45 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x + 3x - 45 = 0$
$x^2 + 4x - 45 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -45$
Подбором находим корни: $x_1 = -9$ и $x_2 = 5$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = -9$ удовлетворяет условиям $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=5$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=5$ является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -9.

2) $\frac{5x - 8}{x - 1} = \frac{14x + 12}{3x + 5}$

Найдем ОДЗ:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$3x + 5 \neq 0 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$
Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(5x - 8)(3x + 5) = (14x + 12)(x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$15x^2 + 25x - 24x - 40 = 14x^2 - 14x + 12x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$15x^2 + x - 40 = 14x^2 - 2x - 12$
Перенесем все члены в левую часть:
$15x^2 - 14x^2 + x + 2x - 40 + 12 = 0$
$x^2 + 3x - 28 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -28$
Корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -\frac{5}{3}$).

Ответ: -7; 4.

3) $\frac{x + 8}{x - 4} - \frac{4}{x - 8} = \frac{2x - 56}{(x - 4)(x - 8)}$

Найдем ОДЗ:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 4)(x - 8)$:
$\frac{(x + 8)(x - 8)}{(x - 4)(x - 8)} - \frac{4(x - 4)}{(x - 4)(x - 8)} = \frac{2x - 56}{(x - 4)(x - 8)}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, приравняем числители:
$(x + 8)(x - 8) - 4(x - 4) = 2x - 56$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 64) - (4x - 16) = 2x - 56$
$x^2 - 64 - 4x + 16 = 2x - 56$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 4x - 48 = 2x - 56$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4x - 2x - 48 + 56 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 8$
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условиям $x \neq 4$ и $x \neq 8$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: 2.

2. Для каждого значения параметра а решите уравнение $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - a} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение из первой строки системы:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Теперь рассмотрим второе условие системы: $x \neq a$. Это означает, что если какой-либо из найденных корней ($1$ или $2$) окажется равным параметру $a$, то он не будет являться решением исходного уравнения.
Рассмотрим возможные случаи:
1. Если $a = 1$, то корень $x = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае решением будет только второй корень, $x = 2$.
2. Если $a = 2$, то корень $x = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае решением будет только $x = 1$.
3. Если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то оба корня, $x = 1$ и $x = 2$, удовлетворяют условию $x \neq a$ и являются решениями уравнения.

Ответ: если $a = 1$, то $x = 2$; если $a = 2$, то $x = 1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

3. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^2 - (a - 1)x + a - 2}{\sqrt{x - 3}} = 0$ имеет единственное решение?

Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - (a - 1)x + a - 2 = 0 \\ \sqrt{x - 3} \neq 0 \end{cases}$
Условие $\sqrt{x - 3} \neq 0$ означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $x - 3 > 0$, откуда $x > 3$. Это ОДЗ уравнения.
Решим уравнение из первой строки системы:
$x^2 - (a - 1)x + a - 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = (a^2 - 2a + 1) - (4a - 8) = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$
Найдем корни уравнения:
$x = \frac{(a-1) \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2} = \frac{a-1 \pm (a-3)}{2}$
$x_1 = \frac{a-1 + (a-3)}{2} = \frac{2a-4}{2} = a-2$
$x_2 = \frac{a-1 - (a-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, числитель обращается в ноль при $x = a-2$ и $x = 1$.
Теперь нужно проверить, при каких значениях $a$ ровно один из этих корней удовлетворяет ОДЗ ($x > 3$).
1. Проверим корень $x_2 = 1$. Неравенство $1 > 3$ является ложным. Следовательно, $x=1$ никогда не является решением исходного уравнения.
2. Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, корень $x_1 = a-2$ должен удовлетворять ОДЗ.
$a-2 > 3$
$a > 5$
При $a > 5$ корень $x_1 = a-2$ является решением, а корень $x_2=1$ не является. Заметим, что при $a > 5$ корни $x_1$ и $x_2$ различны ($a-2 > 3 \implies a-2 \neq 1$). Таким образом, при $a>5$ уравнение имеет ровно одно решение $x=a-2$.
Если $a \le 5$, то $a-2 \le 3$, и корень $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ. В этом случае у уравнения нет решений.

Ответ: $a > 5$.