Номер 39, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 39, страница 44.

Условие.

Самостоятельная работа № 39

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

1. Автомобиль должен был проехать 225 км. Проехав $\frac{8}{15}$ этого расстояния, автомобиль уменьшил свою скорость на 10 км/ч. Найдите скорость автомобиля на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 3 ч.

2. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада самостоятельно, если одной бригаде на это требуется на 12 ч больше, чем другой?

3. Водный раствор соли содержал 140 г воды. Через некоторое время 50 г воды испарили, после чего концентрация соли увеличилась на 10 %. Сколько граммов соли содержит раствор?

Решение.

1. Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля. Тогда на втором участке скорость автомобиля была $(v-10)$ км/ч.
Весь путь составляет 225 км.
Длина первого участка пути, который составляет $\frac{8}{15}$ всего расстояния, равна:
$S_1 = 225 \cdot \frac{8}{15} = 15 \cdot 8 = 120$ км.
Длина второго участка пути:
$S_2 = 225 - 120 = 105$ км.
Время, затраченное на первый участок: $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{120}{v}$ ч.
Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{S_2}{v-10} = \frac{105}{v-10}$ ч.
Общее время в пути составляет 3 часа, поэтому можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 3$
$\frac{120}{v} + \frac{105}{v-10} = 3$
Поскольку скорость на втором участке была положительной, то $v-10 > 0$, откуда $v > 10$.
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$\frac{40}{v} + \frac{35}{v-10} = 1$
Приведем к общему знаменателю $v(v-10)$:
$40(v-10) + 35v = v(v-10)$
$40v - 400 + 35v = v^2 - 10v$
$75v - 400 = v^2 - 10v$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$v^2 - 85v + 400 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 7225 - 1600 = 5625 = 75^2$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{85 + 75}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$v_2 = \frac{85 - 75}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Корень $v_2 = 5$ не удовлетворяет условию $v > 10$, поэтому он является посторонним.
Следовательно, первоначальная скорость автомобиля была 80 км/ч.
Скорость на втором участке: $v - 10 = 80 - 10 = 70$ км/ч.
Ответ: скорость автомобиля на первом участке — 80 км/ч, на втором — 70 км/ч.

2. Пусть первая (более быстрая) бригада может вспахать поле самостоятельно за $t$ часов. Тогда вторая бригада, которой требуется на 12 часов больше, может вспахать то же поле за $(t+12)$ часов.
Примем всю работу (площадь поля) за 1.
Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{t}$ (часть поля в час).
Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{t+12}$ (часть поля в час).
Работая вместе, они вспахали поле за 8 часов, значит, их совместная производительность $P_{общ} = \frac{1}{8}$ (часть поля в час).
Составим уравнение, сложив их индивидуальные производительности:
$P_1 + P_2 = P_{общ}$
$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+12} = \frac{1}{8}$
Область допустимых значений: $t > 0$, так как время не может быть отрицательным или равным нулю.
Приведем к общему знаменателю $8t(t+12)$:
$8(t+12) + 8t = t(t+12)$
$8t + 96 + 8t = t^2 + 12t$
$16t + 96 = t^2 + 12t$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$t^2 - 4t - 96 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 = 20^2$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$t_2 = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Следовательно, первая бригада может вспахать поле за 12 часов.
Время для второй бригады: $t + 12 = 12 + 12 = 24$ часа.
Ответ: первая бригада может вспахать поле за 12 часов, а вторая — за 24 часа.

3. Пусть в растворе содержалось $x$ граммов соли.
Изначально в растворе было 140 г воды. Масса исходного раствора составляла $(x + 140)$ г.
Начальная концентрация соли (массовая доля): $C_1 = \frac{x}{x+140}$.
После испарения 50 г воды в растворе осталось $140 - 50 = 90$ г воды.
Масса нового раствора стала $(x + 90)$ г.
Конечная концентрация соли: $C_2 = \frac{x}{x+90}$.
По условию, концентрация увеличилась на 10%. В задачах такого типа это обычно означает, что значение концентрации как величины, выраженной в долях, увеличилось на 0,1 (т.е. на 10 процентных пунктов).
$C_2 = C_1 + 0.1$
Составим уравнение:
$\frac{x}{x+90} = \frac{x}{x+140} + 0.1$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:
$\frac{x}{x+90} - \frac{x}{x+140} = 0.1$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(x+140) - x(x+90)}{(x+90)(x+140)} = 0.1$
$\frac{x^2 + 140x - x^2 - 90x}{x^2 + 230x + 12600} = 0.1$
$\frac{50x}{x^2 + 230x + 12600} = 0.1$
$50x = 0.1(x^2 + 230x + 12600)$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$500x = x^2 + 230x + 12600$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 270x + 12600 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12600 = 72900 - 50400 = 22500 = 150^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{270 + 150}{2} = \frac{420}{2} = 210$
$x_2 = \frac{270 - 150}{2} = \frac{120}{2} = 60$
Оба корня положительны, проверим, удовлетворяют ли они условию задачи.
1) Если $x = 60$ г:
$C_1 = \frac{60}{60+140} = \frac{60}{200} = 0.3$ (30%)
$C_2 = \frac{60}{60+90} = \frac{60}{150} = 0.4$ (40%)
$C_2 - C_1 = 0.4 - 0.3 = 0.1$, что соответствует увеличению на 10%.
2) Если $x = 210$ г:
$C_1 = \frac{210}{210+140} = \frac{210}{350} = 0.6$ (60%)
$C_2 = \frac{210}{210+90} = \frac{210}{300} = 0.7$ (70%)
$C_2 - C_1 = 0.7 - 0.6 = 0.1$, что также соответствует увеличению на 10%.
Оба значения удовлетворяют условию, следовательно, задача имеет два решения.
Ответ: раствор содержит 60 граммов соли или 210 граммов соли.