Номер 1, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 1, страница 46.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Множество. Подмножества данного множества

1. Дана функция $f(x) = 2 - |x|$. Какие из следующих утверждений являются верными:

1) $3 \in E(f)$; 3) $1 \in E(f)$;

2) $1 \notin D(f)$; 4) $3 \notin D(f)$?

2. Запишите все собственные подмножества множества натуральных делителей числа 15.

3. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера соотношение между множествами A, B и C, если: $A = \{2, 4, 5\}$, $B = \{2, 3, 4, 5\}$, $C = \{3\}$.

Решение.

1. Дана функция $f(x) = 2 - |x|$.
Чтобы определить, какие из утверждений верны, найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ данной функции.
Область определения $D(f)$: функция $f(x)$ определена для любых действительных значений $x$, так как модуль $|x|$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(f)$: по определению, значение модуля всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$. Умножив на -1, получаем $-|x| \le 0$. Прибавив 2 к обеим частям неравенства, получаем $2 - |x| \le 2$. Это означает, что $f(x) \le 2$ для всех $x$. Таким образом, область значений функции $E(f) = (-\infty; 2]$.
Теперь проверим каждое утверждение:
1) $3 \in E(f)$. Утверждение неверно, так как число 3 не принадлежит промежутку $(-\infty; 2]$.
2) $1 \notin D(f)$. Утверждение неверно, так как число 1 является действительным числом и принадлежит области определения $(-\infty; +\infty)$.
3) $1 \in E(f)$. Утверждение верно, так как число 1 принадлежит промежутку $(-\infty; 2]$. Можно найти такое значение $x$, что $f(x) = 1$. Например, $2 - |x| = 1 \implies |x| = 1 \implies x = \pm1$.
4) $3 \notin D(f)$. Утверждение неверно, так как число 3 является действительным числом и принадлежит области определения $(-\infty; +\infty)$.
Верным является только третье утверждение.
Ответ: 3).

2. Сначала найдем множество натуральных делителей числа 15. Обозначим это множество буквой $M$.
Натуральные делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Таким образом, множество $M = \{1, 3, 5, 15\}$.
Собственным подмножеством множества $M$ называется любое его подмножество, не совпадающее с самим множеством $M$. Выпишем все такие подмножества.
- Пустое множество: $\emptyset$.
- Подмножества из одного элемента: $\{1\}, \{3\}, \{5\}, \{15\}$.
- Подмножества из двух элементов: $\{1, 3\}, \{1, 5\}, \{1, 15\}, \{3, 5\}, \{3, 15\}, \{5, 15\}$.
- Подмножества из трех элементов: $\{1, 3, 5\}, \{1, 3, 15\}, \{1, 5, 15\}, \{3, 5, 15\}$.
Всего 15 собственных подмножеств.
Ответ: $\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{15\}, \{1, 3\}, \{1, 5\}, \{1, 15\}, \{3, 5\}, \{3, 15\}, \{5, 15\}, \{1, 3, 5\}, \{1, 3, 15\}, \{1, 5, 15\}, \{3, 5, 15\}$.

3. Даны множества: $A = \{2, 4, 5\}$, $B = \{2, 3, 4, 5\}$, $C = \{3\}$.
Для построения диаграммы Эйлера проанализируем соотношения между этими множествами.
- Сравним множества $A$ и $B$. Все элементы множества $A$ (2, 4, 5) также содержатся в множестве $B$. Следовательно, $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$).
- Сравним множества $C$ и $B$. Элемент множества $C$ (3) также содержится в множестве $B$. Следовательно, $C$ является подмножеством $B$ ($C \subset B$).
- Сравним множества $A$ и $C$. У них нет общих элементов ($A \cap C = \emptyset$), поэтому они являются непересекающимися множествами.
Таким образом, диаграмма Эйлера будет представлять собой большое множество $B$, внутри которого расположены два непересекающихся множества $A$ и $C$.
Ответ: Диаграмма Эйлера, на которой множества A и C являются непересекающимися собственными подмножествами множества B.