Номер 4, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 4, страница 47.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Равномощные множества. Счётные множества

1. Докажите, что множество чисел вида $4^{2n+1}$ $(n \in \mathbb{N})$ счётно.

2. На координатной плоскости отметили точки $A(0; 4)$, $B(2; 0)$, $C(3; 0)$, $D(0; 7)$. Докажите, что множества точек отрезков $BC$ и $AD$ равномощны.

Решение.

1.

Чтобы доказать, что множество чисел вида $M = \{4^{2n+1} | n \in \mathbb{N}\}$ счётно, необходимо показать, что существует взаимно-однозначное соответствие (биекция) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \rightarrow M$, заданную формулой $f(n) = 4^{2n+1}$.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность).
Функция инъективна, если разным элементам области определения соответствуют разные элементы области значений. Пусть $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ и $f(n_1) = f(n_2)$. Тогда: $4^{2n_1+1} = 4^{2n_2+1}$
Так как основания степеней равны и больше 1, то равенство возможно только тогда, когда равны показатели степеней: $2n_1+1 = 2n_2+1$
$2n_1 = 2n_2$
$n_1 = n_2$
Это означает, что разным значениям $n$ соответствуют разные значения функции, следовательно, функция $f$ инъективна.

2. Сюръективность (отображение "на").
Функция сюръективна, если для любого элемента $y$ из множества $M$ существует такой элемент $n$ из множества $\mathbb{N}$, что $f(n) = y$. Возьмём произвольный элемент $y \in M$. По определению множества $M$, он имеет вид $y = 4^{2k+1}$ для некоторого натурального числа $k \in \mathbb{N}$. Если мы выберем $n = k$, то получим: $f(n) = f(k) = 4^{2k+1} = y$.
Таким образом, для любого элемента из множества $M$ нашелся соответствующий прообраз в множестве $\mathbb{N}$. Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = 4^{2n+1}$ является и инъективной, и сюръективной, она является биекцией. Существование биекции между множеством $M$ и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ доказывает, что множество $M$ равномощно множеству $\mathbb{N}$, а значит, является счётным.

Ответ: Установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и заданным множеством, что доказывает его счётность.

2.

Чтобы доказать, что множества точек отрезков $BC$ и $AD$ равномощны, необходимо построить биекцию (взаимно-однозначное отображение) между этими двумя множествами.

Сначала определим множества точек, принадлежащих каждому отрезку.

Отрезок $BC$ соединяет точки $B(2; 0)$ и $C(3; 0)$. Все точки этого отрезка лежат на оси $Ox$ и их координаты можно описать как множество $S_{BC} = \{(x, 0) | x \in [2, 3]\}$.

Отрезок $AD$ соединяет точки $A(0; 4)$ и $D(0; 7)$. Все точки этого отрезка лежат на оси $Oy$ и их координаты можно описать как множество $S_{AD} = \{(0, y) | y \in [4, 7]\}$.

Теперь построим функцию $F: S_{BC} \rightarrow S_{AD}$, которая будет являться биекцией. Для этого достаточно найти биективное отображение абсцисс точек отрезка $BC$ на ординаты точек отрезка $AD$, то есть функцию $g: [2, 3] \rightarrow [4, 7]$.

Простейшей такой функцией является линейная функция $y = g(x) = kx + b$. Найдём её коэффициенты $k$ и $b$ из условия, что она отображает концы одного отрезка в концы другого: $g(2) = 4$ $g(3) = 7$

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} 2k + b = 4 \\ 3k + b = 7 \end{cases}$
Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $k = 3$.
Подставляя $k=3$ в первое уравнение, находим $b$: $2(3) + b = 4 \Rightarrow 6 + b = 4 \Rightarrow b = -2$.
Таким образом, искомая линейная функция: $g(x) = 3x - 2$.

Эта функция непрерывна и строго возрастает на отрезке $[2, 3]$ (так как $k=3 > 0$), поэтому она является биекцией между отрезками $[2, 3]$ и $[g(2), g(3)] = [4, 7]$.

Теперь определим искомую биекцию $F$ между множествами точек отрезков. Каждой точке $P(x, 0)$ из отрезка $BC$ поставим в соответствие точку $Q(0, y)$ из отрезка $AD$, где $y = g(x) = 3x - 2$. $F((x, 0)) = (0, 3x-2)$

Докажем, что $F$ — биекция.

1. Инъективность. Пусть $P_1(x_1, 0)$ и $P_2(x_2, 0)$ — две точки из $S_{BC}$ и $F(P_1) = F(P_2)$. Тогда $(0, 3x_1-2) = (0, 3x_2-2)$. Отсюда $3x_1-2 = 3x_2-2$, что влечет $x_1=x_2$, и, следовательно, $P_1 = P_2$. Значит, $F$ инъективна.

2. Сюръективность. Возьмём произвольную точку $Q(0, y)$ из $S_{AD}$. Это значит, что $y \in [4, 7]$. Нам нужно найти точку $P(x, 0)$ из $S_{BC}$ такую, что $F(P) = Q$. Это равносильно уравнению $y = 3x - 2$. Решая его относительно $x$, получаем $x = (y+2)/3$. Поскольку $4 \le y \le 7$, то $6 \le y+2 \le 9$, и $2 \le (y+2)/3 \le 3$. Таким образом, $x \in [2, 3]$, и точка $P(x, 0)$ принадлежит отрезку $BC$. Значит, для любой точки из $S_{AD}$ существует прообраз в $S_{BC}$. Следовательно, $F$ сюръективна.

Поскольку отображение $F$ является биекцией, множества точек отрезков $BC$ и $AD$ равномощны.

Ответ: Построена биекция между множествами точек отрезков $BC$ и $AD$, что доказывает их равномощность.