Номер 9, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 9, страница 50.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Умножение и деление рациональных дробей.

Возведение рациональной дроби в степень

1. Выполните умножение:

1) $ \frac{x^4y}{28a} \cdot \left( -\frac{7a}{x^3y^6} \right); $

2) $ 16b^5 \cdot \frac{7c^2}{8b^{10}}; $

3) $ \frac{a^{n+2}b^{4n+3}}{c^{n+1}} \cdot \frac{c^{2n+1}}{a^nb^{4n}}. $

2. Выполните возведение в степень:

1) $ \left(-\frac{6b^3}{7c}\right)^2; $

2) $ \left(-\frac{4m^2n^4}{9p^6k^7}\right)^3. $

3. Выполните деление:

1) $ \frac{40a^5b^9}{39c^6d^{14}} : \left( \frac{5a^8b^3}{26c^{12}d^7} \right); $

2) $ \frac{60m^6n^5}{17p^4} : (15m^8n^{10}). $

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{3b^2+6b+3}{b^3-8} \cdot \frac{2b^2+4b+8}{9b+9}; $

2) $ \frac{a^2-81b^2}{49a^2-25b^2} : \frac{a^2+18ab+81b^2}{49a^2-70ab+25b^2}; $

3) $ \frac{(a^n-3b^n)^2+12a^nb^n}{a^2-b^2} : \frac{a^{2n}-9b^{2n}}{a-b}. $

5. Известно, что $ 3x + \frac{1}{x} = 5 $. Найдите значение выражения $ 9x^2 + \frac{1}{x^2}. $

Решение.

1) $\frac{x^4y}{28a} \cdot (-\frac{7a}{x^3y^6}) = -\frac{x^4y \cdot 7a}{28a \cdot x^3y^6} = -\frac{7a x^4 y}{28a x^3 y^6} = -\frac{1 \cdot x^{4-3}}{4 \cdot y^{6-1}} = -\frac{x}{4y^5}$.
Ответ: $-\frac{x}{4y^5}$.

2) $16b^5 \cdot \frac{7c^2}{8b^{10}} = \frac{16b^5 \cdot 7c^2}{8b^{10}} = \frac{16 \cdot 7 \cdot c^2}{8 \cdot b^{10-5}} = \frac{2 \cdot 7c^2}{b^5} = \frac{14c^2}{b^5}$.
Ответ: $\frac{14c^2}{b^5}$.

3) $\frac{a^{n+2}b^{4n+3}}{c^{n+1}} \cdot \frac{c^{2n+1}}{a^n b^{4n}} = \frac{a^{n+2}}{a^n} \cdot \frac{b^{4n+3}}{b^{4n}} \cdot \frac{c^{2n+1}}{c^{n+1}} = a^{(n+2)-n} \cdot b^{(4n+3)-4n} \cdot c^{(2n+1)-(n+1)} = a^2b^3c^n$.
Ответ: $a^2b^3c^n$.

1) $(-\frac{6b^3}{7c})^2 = (\frac{6b^3}{7c})^2 = \frac{(6b^3)^2}{(7c)^2} = \frac{6^2 \cdot (b^3)^2}{7^2 \cdot c^2} = \frac{36b^{3 \cdot 2}}{49c^2} = \frac{36b^6}{49c^2}$.
Ответ: $\frac{36b^6}{49c^2}$.

2) $(-\frac{4m^2n^4}{9p^6k^7})^3 = -(\frac{4m^2n^4}{9p^6k^7})^3 = -\frac{(4m^2n^4)^3}{(9p^6k^7)^3} = -\frac{4^3 (m^2)^3 (n^4)^3}{9^3 (p^6)^3 (k^7)^3} = -\frac{64m^6n^{12}}{729p^{18}k^{21}}$.
Ответ: $-\frac{64m^6n^{12}}{729p^{18}k^{21}}$.

1) $\frac{40a^5b^9}{39c^6d^{14}} : (-\frac{5a^8b^3}{26c^{12}d^7}) = -\frac{40a^5b^9}{39c^6d^{14}} \cdot \frac{26c^{12}d^7}{5a^8b^3} = -\frac{40 \cdot 26 \cdot a^5b^9c^{12}d^7}{39 \cdot 5 \cdot c^6d^{14}a^8b^3} = -\frac{8 \cdot 2 \cdot b^{9-3}c^{12-6}}{3 \cdot a^{8-5}d^{14-7}} = -\frac{16b^6c^6}{3a^3d^7}$.
Ответ: $-\frac{16b^6c^6}{3a^3d^7}$.

2) $\frac{60m^6n^5}{17p^4} : (15m^8n^{10}) = \frac{60m^6n^5}{17p^4} \cdot \frac{1}{15m^8n^{10}} = \frac{60m^6n^5}{17 \cdot 15 \cdot p^4m^8n^{10}} = \frac{4}{17p^4m^{8-6}n^{10-5}} = \frac{4}{17m^2n^5p^4}$.
Ответ: $\frac{4}{17m^2n^5p^4}$.

1) $\frac{3b^2+6b+3}{b^3-8} \cdot \frac{2b^2+4b+8}{9b+9} = \frac{3(b^2+2b+1)}{b^3-2^3} \cdot \frac{2(b^2+2b+4)}{9(b+1)} = \frac{3(b+1)^2}{(b-2)(b^2+2b+4)} \cdot \frac{2(b^2+2b+4)}{9(b+1)}$.
Сокращаем общие множители $(b^2+2b+4)$ и $(b+1)$: $\frac{3(b+1) \cdot 2}{(b-2) \cdot 9} = \frac{2(b+1)}{3(b-2)}$.
Ответ: $\frac{2(b+1)}{3(b-2)}$.

2) $\frac{a^2-81b^2}{49a^2-25b^2} : \frac{a^2+18ab+81b^2}{49a^2-70ab+25b^2} = \frac{a^2-(9b)^2}{(7a)^2-(5b)^2} \cdot \frac{(7a)^2-2(7a)(5b)+(5b)^2}{a^2+2a(9b)+(9b)^2} = \frac{(a-9b)(a+9b)}{(7a-5b)(7a+5b)} \cdot \frac{(7a-5b)^2}{(a+9b)^2}$.
Сокращаем общие множители $(a+9b)$ и $(7a-5b)$: $\frac{(a-9b)\cancel{(a+9b)}}{(7a+5b)\cancel{(7a-5b)}} \cdot \frac{(7a-5b)^{\cancel{2}}}{(a+9b)^{\cancel{2}}} = \frac{(a-9b)(7a-5b)}{(a+9b)(7a+5b)}$.
Ответ: $\frac{(a-9b)(7a-5b)}{(a+9b)(7a+5b)}$.

3) $(\frac{(a^n-3b^n)^2+12a^nb^n}{a^2-b^2}) : \frac{a^{2n}-9b^{2n}}{a-b}$.
Упростим числитель первой дроби: $(a^n-3b^n)^2+12a^nb^n = a^{2n}-6a^nb^n+9b^{2n}+12a^nb^n = a^{2n}+6a^nb^n+9b^{2n} = (a^n+3b^n)^2$.
Разложим на множители числитель второй дроби и знаменатель первой: $a^{2n}-9b^{2n} = (a^n-3b^n)(a^n+3b^n)$, $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{(a^n+3b^n)^2}{(a-b)(a+b)} : \frac{(a^n-3b^n)(a^n+3b^n)}{a-b} = \frac{(a^n+3b^n)^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{(a^n-3b^n)(a^n+3b^n)}$.
Сокращаем общие множители $(a-b)$ и $(a^n+3b^n)$: $\frac{a^n+3b^n}{(a+b)(a^n-3b^n)}$.
Ответ: $\frac{a^n+3b^n}{(a+b)(a^n-3b^n)}$.

Дано: $3x + \frac{1}{x} = 5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(3x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$.
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 25$.
$9x^2 + 6 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2} = 25$.
$9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2} = 25$.
Выразим искомое выражение: $9x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 6$.
$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 19$.
Ответ: 19.