Номер 14, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 14, страница 52.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Свойства степени с целым показателем

1. Представьте выражение в виде степени с основанием а или произведения степеней с разными основаниями:

1) $b^{-7} \cdot b^{15};$

2) $b^{-10} : b^{-16};$

3) $(m^6n^{-4}p^8)^{-5};$

4) $(\frac{m^9}{n^{-8}})^{-6} \cdot (\frac{m^{-10}}{n^{26}})^{-2}.$

2. Найдите значение выражения:

1) $(23^{-12})^2 \cdot (23^{-8})^{-3};$

2) $\frac{(-49)^{-5} \cdot 7^{-4}}{343^{-8} \cdot (-7)^8};$

3) $\frac{15^7 \cdot 3^{-12}}{45^{-4} \cdot 5^{13}}.$

3. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $9b^{-9} \cdot (-5b^{-4}c^4)^{-2};$

2) $\frac{19a^{-15}}{21c^{-4}} \cdot \frac{63c^6}{38a^{-21}};$

3) $(\frac{6x^{-1}}{y^{-8}})^{-4} \cdot (36x^{-2}y^7)^3.$

4. Постройте график функции $y = (x+1)(\frac{x+1}{x-3})^{-1}.$

5. Упростите выражение:

1) $(a^{-6} + 3)(a^{-6} - 3) - (a^{-6} + 4)^2;$

2) $\frac{m^{-4} + n^{-6}}{2m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3}} - \frac{n^{-3}}{m^{-2} - n^{-3}}.$

Решение.

1. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниями:

1) $b^{-7} \cdot b^{15}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$b^{-7} \cdot b^{15} = b^{-7+15} = b^8$.

Ответ: $b^8$.

2) $b^{-10} : b^{-16}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$b^{-10} : b^{-16} = b^{-10 - (-16)} = b^{-10+16} = b^6$.

Ответ: $b^6$.

3) $(m^{6}n^{-4}p^{8})^{-5}$

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(m^{6}n^{-4}p^{8})^{-5} = (m^6)^{-5} \cdot (n^{-4})^{-5} \cdot (p^8)^{-5} = m^{6 \cdot (-5)} n^{-4 \cdot (-5)} p^{8 \cdot (-5)} = m^{-30}n^{20}p^{-40}$.

Ответ: $m^{-30}n^{20}p^{-40}$.

4) $(\frac{m^{9}}{n^{-8}})^{-6} \cdot (\frac{m^{-10}}{n^{26}})^{-2}$

Используем свойство $(\frac{a^m}{b^n})^k = \frac{a^{mk}}{b^{nk}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(\frac{m^{9}}{n^{-8}})^{-6} = \frac{m^{9 \cdot (-6)}}{n^{-8 \cdot (-6)}} = \frac{m^{-54}}{n^{48}}$.

$(\frac{m^{-10}}{n^{26}})^{-2} = \frac{m^{-10 \cdot (-2)}}{n^{26 \cdot (-2)}} = \frac{m^{20}}{n^{-52}}$.

$\frac{m^{-54}}{n^{48}} \cdot \frac{m^{20}}{n^{-52}} = \frac{m^{-54} \cdot m^{20}}{n^{48} \cdot n^{-52}} = \frac{m^{-54+20}}{n^{48-52}} = \frac{m^{-34}}{n^{-4}} = m^{-34}n^4$.

Ответ: $m^{-34}n^4$.

2. Найдите значение выражения:

1) $(23^{-12})^{2} \cdot (23^{-8})^{-3}$

Используем свойства $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(23^{-12})^{2} \cdot (23^{-8})^{-3} = 23^{-12 \cdot 2} \cdot 23^{-8 \cdot (-3)} = 23^{-24} \cdot 23^{24} = 23^{-24+24} = 23^0 = 1$.

Ответ: 1.

2) $\frac{(-49)^{-5} \cdot 7^{-4}}{343^{-8} \cdot (-7)^{8}}$

Представим все основания в виде степеней числа 7, учитывая знаки.

$-49 = -7^2$, $343 = 7^3$, $(-7)^8 = 7^8$.

$\frac{(-49)^{-5} \cdot 7^{-4}}{343^{-8} \cdot (-7)^{8}} = \frac{((-1) \cdot 7^2)^{-5} \cdot 7^{-4}}{(7^3)^{-8} \cdot 7^8} = \frac{(-1)^{-5} \cdot (7^2)^{-5} \cdot 7^{-4}}{7^{-24} \cdot 7^8} = \frac{-1 \cdot 7^{-10} \cdot 7^{-4}}{7^{-24+8}} = \frac{-7^{-10-4}}{7^{-16}} = \frac{-7^{-14}}{7^{-16}}$.

$-7^{-14 - (-16)} = -7^{-14+16} = -7^2 = -49$.

Ответ: -49.

3) $\frac{15^7 \cdot 3^{-12}}{45^{-4} \cdot 5^{13}}$

Разложим основания на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

$\frac{(3 \cdot 5)^7 \cdot 3^{-12}}{(3^2 \cdot 5)^{-4} \cdot 5^{13}} = \frac{3^7 \cdot 5^7 \cdot 3^{-12}}{(3^2)^{-4} \cdot 5^{-4} \cdot 5^{13}} = \frac{3^{7-12} \cdot 5^7}{3^{-8} \cdot 5^{-4+13}} = \frac{3^{-5} \cdot 5^7}{3^{-8} \cdot 5^9}$.

$\frac{3^{-5}}{3^{-8}} \cdot \frac{5^7}{5^9} = 3^{-5 - (-8)} \cdot 5^{7-9} = 3^3 \cdot 5^{-2} = \frac{3^3}{5^2} = \frac{27}{25}$.

Ответ: $\frac{27}{25}$.

3. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $9b^{-9} \cdot (-5b^{-4}c^4)^{-2}$

$9b^{-9} \cdot (-5)^{-2} \cdot (b^{-4})^{-2} \cdot (c^4)^{-2} = 9b^{-9} \cdot \frac{1}{(-5)^2} \cdot b^{-4 \cdot (-2)} \cdot c^{4 \cdot (-2)} = 9b^{-9} \cdot \frac{1}{25} \cdot b^8 \cdot c^{-8}$.

$\frac{9}{25} \cdot b^{-9+8} \cdot c^{-8} = \frac{9}{25}b^{-1}c^{-8}$.

Используя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{9}{25} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c^8} = \frac{9}{25bc^8}$.

Ответ: $\frac{9}{25bc^8}$.

2) $\frac{19a^{-15}}{21c^{-4}} \cdot \frac{63c^6}{38a^{-21}}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(\frac{19 \cdot 63}{21 \cdot 38}) \cdot (\frac{a^{-15}}{a^{-21}}) \cdot (\frac{c^6}{c^{-4}})$.

Сокращаем дроби: $\frac{19}{38} = \frac{1}{2}$, $\frac{63}{21} = 3$. Коэффициент равен $\frac{3}{2}$.

Упрощаем степени: $\frac{a^{-15}}{a^{-21}} = a^{-15 - (-21)} = a^{6}$, $\frac{c^6}{c^{-4}} = c^{6 - (-4)} = c^{10}$.

Результат: $\frac{3}{2}a^6c^{10}$.

Ответ: $\frac{3}{2}a^6c^{10}$.

3) $(\frac{6x^{-1}}{y^{-8}})^{-4} \cdot (36x^{-2}y^7)^3$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(\frac{6x^{-1}}{y^{-8}})^{-4} = (6x^{-1}y^8)^{-4} = 6^{-4} \cdot (x^{-1})^{-4} \cdot (y^8)^{-4} = 6^{-4}x^4y^{-32}$.

Второй множитель: $(36x^{-2}y^7)^3 = (6^2x^{-2}y^7)^3 = (6^2)^3 \cdot (x^{-2})^3 \cdot (y^7)^3 = 6^6x^{-6}y^{21}$.

Перемножим результаты: $(6^{-4}x^4y^{-32}) \cdot (6^6x^{-6}y^{21}) = 6^{-4+6} \cdot x^{4-6} \cdot y^{-32+21} = 6^2x^{-2}y^{-11} = 36x^{-2}y^{-11}$.

Приведем к виду без отрицательных показателей: $\frac{36}{x^2y^{11}}$.

Ответ: $\frac{36}{x^2y^{11}}$.

4. Постройте график функции $y = (x+1)(\frac{x+1}{x-3})^{-1}$

Сначала упростим выражение для функции:

$y = (x+1) \cdot (\frac{x-3}{x+1})$.

Перед сокращением дроби определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Выражение, возводимое в отрицательную степень, также не должно быть равно нулю: $\frac{x+1}{x-3} \neq 0 \implies x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -1$.

Теперь можно сократить дробь: $y = x-3$.

Графиком функции является прямая $y=x-3$ с двумя "выколотыми" точками, соответствующими значениям $x$ из ОДЗ.

Найдем координаты этих точек:

1. При $x = -1$, $y = -1 - 3 = -4$. Точка $(-1, -4)$ выколота.

2. При $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$ выколота.

Для построения графика нужно начертить прямую $y=x-3$ (например, по точкам $(0, -3)$ и $(2, -1)$) и отметить на ней выколотые точки (пустые кружки) с координатами $(-1, -4)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x-3$ с выколотыми точками $(-1, -4)$ и $(3, 0)$.

5. Упростите выражение:

1) $(a^{-6} + 3)(a^{-6} - 3) - (a^{-6} + 4)^2$

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ для первого произведения и формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ для второго слагаемого.

Пусть $x = a^{-6}$. Тогда выражение принимает вид $(x+3)(x-3) - (x+4)^2$.

$(x^2 - 3^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 9) - (x^2 + 8x + 16)$.

Раскрываем скобки: $x^2 - 9 - x^2 - 8x - 16 = -8x - 25$.

Подставляем обратно $x=a^{-6}$: $-8a^{-6} - 25$.

Ответ: $-8a^{-6} - 25$.

2) $\frac{m^{-4} + n^{-6}}{2m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3}} - \frac{n^{-3}}{m^{-2} - n^{-3}}$

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $2m^{-2}$:

$2m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3} = 2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})$.

Получим выражение: $\frac{m^{-4} + n^{-6}}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})} - \frac{n^{-3}}{m^{-2} - n^{-3}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})$:

$\frac{m^{-4} + n^{-6} - n^{-3} \cdot (2m^{-2})}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})} = \frac{m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3} + n^{-6}}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})}$.

Числитель представляет собой полный квадрат разности: $m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3} + n^{-6} = (m^{-2})^2 - 2(m^{-2})(n^{-3}) + (n^{-3})^2 = (m^{-2} - n^{-3})^2$.

Подставим числитель обратно в дробь: $\frac{(m^{-2} - n^{-3})^2}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})}$.

Сократим на $(m^{-2} - n^{-3})$:

$\frac{m^{-2} - n^{-3}}{2m^{-2}}$.

Это выражение можно преобразовать, избавившись от отрицательных степеней: $\frac{\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^3}}{\frac{2}{m^2}} = \frac{\frac{n^3-m^2}{m^2n^3}}{\frac{2}{m^2}} = \frac{n^3-m^2}{m^2n^3} \cdot \frac{m^2}{2} = \frac{n^3-m^2}{2n^3}$.

Ответ: $\frac{n^3-m^2}{2n^3}$.