Номер 13, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 13, страница 52.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Степень с целым отрицательным показателем

1. Найдите значение выражения:

1) $5^{-2} + 10^{-3}$;

2) $(\frac{6}{7})^{-1} + 6^{-2} - (-3,5)^0$;

3) $(\frac{9}{4})^{-2} \cdot 2^{-5}$.

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{9,4^0 x^{-14} y^{-18} z^2}{8^{-1} a^0 b^{-22} c^{-6}}$;

2) $(m - 4n)^{-1} : (4m^{-1} - n^{-1})^{-2}$.

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 59;

2) 0,0024;

3) $830 \cdot 10^5$;

4) $95 \cdot 10^{-5}$.

4. Сравните:

1) $3,2 \cdot 10^{-4}$ и $4,8 \cdot 10^{-5}$;

2) $2,78 \cdot 10^7$ и $0,27 \cdot 10^8$;

3) $58,3 \cdot 10^{-7}$ и $0,075 \cdot 10^{-5}$.

5. Порядок некоторого натурального числа равен 7. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) Для вычисления значения воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$5^{-2} + 10^{-3} = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{10^3} = \frac{1}{25} + \frac{1}{1000}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 1000:
$\frac{1 \cdot 40}{25 \cdot 40} + \frac{1}{1000} = \frac{40}{1000} + \frac{1}{1000} = \frac{41}{1000} = 0,041$.
Ответ: $0,041$.

2) Используем свойства степеней: $(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{b}{a}$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$.
$(\frac{6}{7})^{-1} + 6^{-2} - (-3,5)^0 = \frac{7}{6} + \frac{1}{6^2} - 1 = \frac{7}{6} + \frac{1}{36} - 1$.
Приведем к общему знаменателю 36:
$\frac{7 \cdot 6}{36} + \frac{1}{36} - \frac{36}{36} = \frac{42+1-36}{36} = \frac{7}{36}$.
Ответ: $\frac{7}{36}$.

3) $(\frac{9}{4})^{-2} \cdot 2^{-5} = (\frac{4}{9})^2 \cdot \frac{1}{2^5} = \frac{4^2}{9^2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{32}$.
Сократим дробь на 16:
$\frac{16}{81 \cdot 32} = \frac{1}{81 \cdot 2} = \frac{1}{162}$.
Ответ: $\frac{1}{162}$.

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) Используем свойства $a^0=1$ (при $a \neq 0$) и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Переменные с отрицательным показателем в числителе переходят в знаменатель с положительным показателем, и наоборот.
$\frac{9,4^0 x^{-14} y^{-18} z^2}{8^{-1} a^0 b^{-22} c^{-6}} = \frac{1 \cdot x^{-14} y^{-18} z^2}{8^{-1} \cdot 1 \cdot b^{-22} c^{-6}} = \frac{8^1 b^{22} c^6 z^2}{x^{14} y^{18}} = \frac{8b^{22}c^6z^2}{x^{14}y^{18}}$.
Ответ: $\frac{8b^{22}c^6z^2}{x^{14}y^{18}}$.

2) $(m-4n)^{-1} : (4m^{-1} - n^{-1})^{-2} = \frac{1}{m-4n} : (\frac{4}{m} - \frac{1}{n})^{-2}$.
Сначала преобразуем выражение во второй скобке:
$\frac{4}{m} - \frac{1}{n} = \frac{4n-m}{mn}$.
Теперь всё выражение:
$\frac{1}{m-4n} : (\frac{4n-m}{mn})^{-2} = \frac{1}{m-4n} : \frac{(mn)^2}{(4n-m)^2} = \frac{1}{m-4n} \cdot \frac{(4n-m)^2}{m^2n^2}$.
Так как $(4n-m)^2 = (-(m-4n))^2 = (m-4n)^2$, можем сократить дробь:
$\frac{(m-4n)^2}{(m-4n)m^2n^2} = \frac{m-4n}{m^2n^2}$.
Ответ: $\frac{m-4n}{m^2n^2}$.

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) $59 = 5,9 \cdot 10^1$.
Ответ: Стандартный вид: $5,9 \cdot 10^1$, порядок числа: 1.

2) $0,0024 = 2,4 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: Стандартный вид: $2,4 \cdot 10^{-3}$, порядок числа: -3.

3) $830 \cdot 10^5 = (8,3 \cdot 10^2) \cdot 10^5 = 8,3 \cdot 10^{2+5} = 8,3 \cdot 10^7$.
Ответ: Стандартный вид: $8,3 \cdot 10^7$, порядок числа: 7.

4) $95 \cdot 10^{-5} = (9,5 \cdot 10^1) \cdot 10^{-5} = 9,5 \cdot 10^{1-5} = 9,5 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: Стандартный вид: $9,5 \cdot 10^{-4}$, порядок числа: -4.

4. Сравните:

1) $3,2 \cdot 10^{-4}$ и $4,8 \cdot 10^{-5}$.
Чтобы сравнить числа, приведем их к одному порядку. Например, к $10^{-4}$.
$4,8 \cdot 10^{-5} = 4,8 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = 0,48 \cdot 10^{-4}$.
Теперь сравниваем $3,2 \cdot 10^{-4}$ и $0,48 \cdot 10^{-4}$. Так как $3,2 > 0,48$, то и $3,2 \cdot 10^{-4} > 4,8 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $3,2 \cdot 10^{-4} > 4,8 \cdot 10^{-5}$.

2) $2,78 \cdot 10^7$ и $0,27 \cdot 10^8$.
Приведем второе число к стандартному виду: $0,27 \cdot 10^8 = 2,7 \cdot 10^{-1} \cdot 10^8 = 2,7 \cdot 10^7$.
Сравниваем $2,78 \cdot 10^7$ и $2,7 \cdot 10^7$. Так как $2,78 > 2,7$, то $2,78 \cdot 10^7 > 0,27 \cdot 10^8$.
Ответ: $2,78 \cdot 10^7 > 0,27 \cdot 10^8$.

3) $58,3 \cdot 10^{-7}$ и $0,075 \cdot 10^{-5}$.
Приведем оба числа к порядку $10^{-5}$.
$58,3 \cdot 10^{-7} = 58,3 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-5} = 0,583 \cdot 10^{-5}$.
Сравниваем $0,583 \cdot 10^{-5}$ и $0,075 \cdot 10^{-5}$. Так как $0,583 > 0,075$, то $58,3 \cdot 10^{-7} > 0,075 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $58,3 \cdot 10^{-7} > 0,075 \cdot 10^{-5}$.

5. Порядок некоторого натурального числа равен 7. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Порядок натурального числа $N$ — это показатель степени $n$ в его стандартной записи $N = a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$.
Если порядок числа равен 7, это означает, что $1 \cdot 10^7 \le N < 10 \cdot 10^7$, то есть $10^7 \le N < 10^8$.
Наименьшее число в этом диапазоне, $10^7 = 10 000 000$, содержит 8 цифр (1 и 7 нулей).
Любое другое число в этом диапазоне (например, 99 999 999) также будет содержать 8 цифр, так как оно меньше $10^8 = 100 000 000$ (наименьшего числа с 9 цифрами).
Таким образом, число, порядок которого равен 7, содержит $7+1=8$ цифр.
Ответ: 8.