Номер 21, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 21, страница 56.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Числовые неравенства и их свойства

1. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $m = n + 0,7$

2) $n = m - 10$

2. Известно, что $m > n$. Сравните:

1) $m - 4$ и $n - 4$

2) $-70m$ и $-70n$

3) $-\frac{m}{15}$ и $-\frac{n}{15}$

3. Известно, что $a > b$. Сравните:

1) $a + 1$ и $b$

2) $a$ и $b - 4$

3) $a + 2$ и $b - 3$

4) $a - 3$ и $b - 2$

4. Сравните числа $a$ и $0$, если:

1) $3a > 6a$

2) $\frac{a}{7} > \frac{a}{12}$

3) $-2a > 5a$

4) $-\frac{a}{10} > -\frac{a}{20}$

5. Дано: $a < 0$ и $b > 0$. Сравните:

1) $a - b$ и $0$

2) $b - a$ и $-b$

3) $3a - 2b$ и $b$

4) $\frac{1}{a - 5b}$ и $\frac{1}{b}$

6. Известно, что $4 < m < 6$. Докажите, что:

1) $-9 < 15 - 4m < -1$

2) $\frac{1}{14} < \frac{1}{3m - 4} < \frac{1}{8}$

Решение.

1.

1)
Из уравнения $m = n + 0,7$ выразим разность $m - n$:
$m - n = 0,7$.
Так как разность $m - n$ является положительным числом ($0,7 > 0$), то $m$ больше $n$.
Ответ: $m > n$.

2)
Из уравнения $n = m - 10$ выразим разность $m - n$:
$m - n = 10$.
Так как разность $m - n$ является положительным числом ($10 > 0$), то $m$ больше $n$.
Ответ: $m > n$.

2.

1)
Дано неравенство $m > n$. Согласно свойству числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Вычтем 4 из обеих частей:
$m - 4 > n - 4$.
Ответ: $m - 4 > n - 4$.

2)
Дано неравенство $m > n$. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Умножим обе части на -70:
$-70m < -70n$.
Ответ: $-70m < -70n$.

3)
Дано неравенство $m > n$. Разделим обе части на 15 (положительное число), знак неравенства не изменится: $\frac{m}{15} > \frac{n}{15}$.
Затем умножим обе части на -1 (отрицательное число), знак неравенства изменится на противоположный:
$-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$.
Ответ: $-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$.

3.

1)
Дано $a > b$. Сравним $a+1$ и $b$. Рассмотрим их разность: $(a + 1) - b = (a - b) + 1$.
Так как $a > b$, то разность $a - b > 0$. Сумма положительного числа $(a-b)$ и 1 также является положительным числом. Следовательно, $(a + 1) - b > 0$, а значит $a + 1 > b$.
Ответ: $a + 1 > b$.

2)
Дано $a > b$. Сравним $a$ и $b-4$. Рассмотрим их разность: $a - (b - 4) = a - b + 4 = (a - b) + 4$.
Так как $a > b$, то разность $a - b > 0$. Сумма положительного числа $(a-b)$ и 4 также является положительным числом. Следовательно, $a - (b - 4) > 0$, а значит $a > b - 4$.
Ответ: $a > b - 4$.

3)
Дано $a > b$. Сравним $a+2$ и $b-3$. Рассмотрим их разность: $(a + 2) - (b - 3) = a + 2 - b + 3 = (a - b) + 5$.
Так как $a > b$, то разность $a - b > 0$. Сумма положительного числа $(a-b)$ и 5 также является положительным числом. Следовательно, $(a + 2) - (b - 3) > 0$, а значит $a + 2 > b - 3$.
Ответ: $a + 2 > b - 3$.

4)
Дано $a > b$. Сравним $a - 3$ и $b - 2$. Рассмотрим их разность: $(a - 3) - (b - 2) = a - 3 - b + 2 = (a - b) - 1$.
Мы знаем, что $a - b > 0$, но мы не можем определить знак выражения $(a - b) - 1$.
Например, если $a = 5, b = 4$, то $a > b$, и $(a - 3) - (b - 2) = (5-4)-1 = 0$, то есть $a - 3 = b - 2$.
Если $a = 5, b = 3$, то $a > b$, и $(a - 3) - (b - 2) = (5-3)-1 = 1 > 0$, то есть $a - 3 > b - 2$.
Если $a = 5, b = 4.5$, то $a > b$, и $(a - 3) - (b - 2) = (5-4.5)-1 = -0.5 < 0$, то есть $a - 3 < b - 2$.
Так как результат сравнения зависит от конкретных значений $a$ и $b$, дать однозначный ответ невозможно.
Ответ: Сравнить невозможно.

4.

1)
Дано неравенство $3a > 6a$.
$3a - 6a > 0$
$-3a > 0$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

2)
Дано неравенство $\frac{a}{7} > \frac{a}{12}$.
$\frac{a}{7} - \frac{a}{12} > 0$
Приведем к общему знаменателю 84: $\frac{12a - 7a}{84} > 0$
$\frac{5a}{84} > 0$
Так как $\frac{5}{84} > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $a$ было положительным.
$a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

3)
Дано неравенство $-2a > 5a$.
$0 > 5a + 2a$
$0 > 7a$
Разделим обе части на 7 (положительное число):
$0 > a$, или $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

4)
Дано неравенство $-\frac{a}{10} > -\frac{a}{20}$.
$\frac{a}{20} - \frac{a}{10} > 0$
Приведем к общему знаменателю 20: $\frac{a - 2a}{20} > 0$
$\frac{-a}{20} > 0$
Умножим обе части на -20, изменив знак неравенства на противоположный:
$a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

5.

1)
Дано $a < 0$ и $b > 0$.
Выражение $a - b$ представляет собой разность отрицательного и положительного чисел. Это то же самое, что и сумма двух отрицательных чисел $a + (-b)$, которая всегда отрицательна.
Следовательно, $a - b < 0$.
Ответ: $a - b < 0$.

2)
Дано $a < 0$ и $b > 0$.
Выражение $b - a$ представляет собой разность положительного и отрицательного чисел. Это то же самое, что и сумма двух положительных чисел $b + (-a)$ (так как если $a<0$, то $-a>0$), которая всегда положительна. Значит, $b - a > 0$.
Выражение $-b$ отрицательно, так как $b > 0$.
Любое положительное число ($b - a$) больше любого отрицательного ($-b$).
Ответ: $b - a > -b$.

3)
Дано $a < 0$ и $b > 0$.
Так как $a < 0$, то $3a < 0$.
Так как $b > 0$, то $-2b < 0$.
Выражение $3a - 2b$ является суммой двух отрицательных чисел, поэтому $3a - 2b < 0$.
Число $b$ по условию положительно ($b>0$).
Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $3a - 2b < b$.
Ответ: $3a - 2b < b$.

4)
Дано $a < 0$ и $b > 0$.
Знаменатель первой дроби: $a - 5b$. Так как $a < 0$ и $-5b < 0$ (потому что $b>0$), их сумма $a - 5b$ является отрицательным числом. Следовательно, вся дробь $\frac{1}{a-5b}$ отрицательна.
Знаменатель второй дроби: $b$. Так как $b > 0$, дробь $\frac{1}{b}$ положительна.
Любое отрицательное число меньше любого положительного.
Ответ: $\frac{1}{a-5b} < \frac{1}{b}$.

6.

1)
Начнем с исходного неравенства: $4 < m < 6$.
1. Умножим все части на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$4 \cdot (-4) > m \cdot (-4) > 6 \cdot (-4)$, то есть $-16 > -4m > -24$.
Запишем в стандартном виде: $-24 < -4m < -16$.
2. Прибавим 15 ко всем частям неравенства:
$-24 + 15 < 15 - 4m < -16 + 15$
$-9 < 15 - 4m < -1$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2)
Начнем с исходного неравенства: $4 < m < 6$.
1. Умножим все части на 3 (положительное число):
$12 < 3m < 18$
2. Вычтем 4 из всех частей:
$12 - 4 < 3m - 4 < 18 - 4$
$8 < 3m - 4 < 14$
3. Все части этого неравенства положительны. Возьмем обратные величины (перевернем дроби), при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{1}{8} > \frac{1}{3m - 4} > \frac{1}{14}$
Запишем в стандартном виде:
$\frac{1}{14} < \frac{1}{3m - 4} < \frac{1}{8}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.