Номер 23, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 23, страница 57.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Неравенства с одной переменной.

Числовые промежутки

1. Решите неравенство:

1) $9 - 7(x + 3) \ge 5 - 6x;$

2) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} < 1;$

3) $2(x - 3) + x(x - 13) < (x - 2)^2 - 7x.$

2. Равносильны ли неравенства:

1) $x - 7 < 0$ и $(x - 7)(x^2 + 6) < 0;$

2) $|x + 8| < 0$ и $(x + 8)^2 < 0;$

3) $(x + 5)x \le x$ и $x + 5 \le 1?$

3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x - 3}{x - 3} > \frac{3}{4};$

2) $\frac{1}{|x + 2|} > -1;$

3) $|x^2 - 16| \le 0.$

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $3x + a > 6$ является следствием неравенства $2a - x < 1?$

5. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $(a - 1)^2 x \le 0;$

2) $(a - 4)x > a^2 - 16.$

Решение.

1.

1) $9 - 7(x + 3) \ge 5 - 6x$
Раскроем скобки: $9 - 7x - 21 \ge 5 - 6x$
Приведем подобные слагаемые: $-12 - 7x \ge 5 - 6x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую: $-7x + 6x \ge 5 + 12$
$-x \ge 17$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x \le -17$
Ответ: $(-\infty, -17]$.

2) $\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7} < 1$
Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 14, чтобы избавиться от дробей:
$14 \cdot \frac{x+3}{2} - 14 \cdot \frac{x-4}{7} < 14 \cdot 1$
$7(x+3) - 2(x-4) < 14$
$7x + 21 - 2x + 8 < 14$
$5x + 29 < 14$
$5x < 14 - 29$
$5x < -15$
$x < -3$
Ответ: $(-\infty, -3)$.

3) $2(x - 3) + x(x - 13) < (x - 2)^2 - 7x$
Раскроем скобки и применим формулу квадрата разности:
$2x - 6 + x^2 - 13x < x^2 - 4x + 4 - 7x$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$x^2 - 11x - 6 < x^2 - 11x + 4$
Вычтем из обеих частей $x^2 - 11x$:
$-6 < 4$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

2.

1) $x - 7 < 0$ и $(x - 7)(x^2 + 6) < 0$
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.
1. Решим первое неравенство: $x - 7 < 0 \implies x < 7$. Множество решений: $(-\infty, 7)$.
2. Решим второе неравенство: $(x - 7)(x^2 + 6) < 0$. Выражение $x^2 + 6$ всегда положительно при любом $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 6 \ge 6$. Поэтому знак произведения определяется знаком множителя $(x-7)$. Неравенство равносильно $x-7 < 0 \implies x < 7$. Множество решений: $(-\infty, 7)$.
Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да.

2) $|x + 8| < 0$ и $(x + 8)^2 < 0$
1. Неравенство $|x + 8| < 0$. Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x + 8| \ge 0$. Следовательно, это неравенство не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
2. Неравенство $(x + 8)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x + 8)^2 \ge 0$. Следовательно, это неравенство также не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да.

3) $(x + 5)x \le x$ и $x + 5 \le 1$
1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x \le x \implies x^2 + 4x \le 0 \implies x(x+4) \le 0$. Корни уравнения $x(x+4)=0$ равны $x=0$ и $x=-4$. Это парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in [-4, 0]$.
2. Решим второе неравенство: $x + 5 \le 1 \implies x \le -4$. Множество решений: $(-\infty, -4]$.
Множества решений $[-4, 0]$ и $(-\infty, -4]$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет.

3.

1) $\frac{x-3}{x-3} > \frac{3}{4}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
При всех $x$ из ОДЗ дробь $\frac{x-3}{x-3}$ равна 1. Неравенство принимает вид $1 > \frac{3}{4}$.
Это верное числовое неравенство. Значит, решением является любое число из ОДЗ.
Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

2) $\frac{1}{|x+2|} > -1$
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $|x+2| \ne 0 \implies x \ne -2$.
На ОДЗ левая часть неравенства $\frac{1}{|x+2|}$ всегда строго положительна, так как числитель 1 положителен, и знаменатель $|x+2|$ положителен. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, в том числе и -1.
Следовательно, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.

3) $|x^2 - 16| \le 0$
Модуль любого выражения всегда неотрицателен: $|A| \ge 0$. Поэтому неравенство $|x^2 - 16| \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $|x^2 - 16| = 0$.
Это равносильно уравнению $x^2 - 16 = 0$.
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
Ответ: $\{-4, 4\}$.

4.

Неравенство $3x + a > 6$ является следствием неравенства $2a - x < 1$, если множество решений второго неравенства является подмножеством множества решений первого.
Найдем решения каждого неравенства относительно $x$:
1. $2a - x < 1 \implies -x < 1 - 2a \implies x > 2a - 1$. Решение: $x \in (2a - 1, +\infty)$.
2. $3x + a > 6 \implies 3x > 6 - a \implies x > \frac{6 - a}{3}$. Решение: $x \in (\frac{6 - a}{3}, +\infty)$.
Чтобы луч $(2a - 1, +\infty)$ содержался в луче $(\frac{6 - a}{3}, +\infty)$, необходимо, чтобы начало первого луча было не левее начала второго:
$2a - 1 \ge \frac{6 - a}{3}$
$3(2a - 1) \ge 6 - a$
$6a - 3 \ge 6 - a$
$7a \ge 9$
$a \ge \frac{9}{7}$
Ответ: $a \in [\frac{9}{7}, +\infty)$.

5.

1) $(a - 1)^2 x \le 0$
Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть $(a - 1)^2$.
Случай 1: $a=1$. Коэффициент $(1-1)^2 = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \le 0$, то есть $0 \le 0$. Это верно при любом $x$.
Случай 2: $a \ne 1$. Коэффициент $(a-1)^2$ строго положителен. Можем разделить обе части неравенства на это положительное число, сохранив знак неравенства: $x \le \frac{0}{(a-1)^2} \implies x \le 0$.
Ответ: если $a = 1$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a \ne 1$, то $x \in (-\infty, 0]$.

2) $(a - 4)x > a^2 - 16$
Разложим правую часть на множители: $(a - 4)x > (a - 4)(a + 4)$.
Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть $(a-4)$.
Случай 1: $a - 4 > 0 \implies a > 4$.
Делим обе части на положительное число $(a-4)$, знак неравенства сохраняется: $x > a+4$.
Случай 2: $a - 4 < 0 \implies a < 4$.
Делим обе части на отрицательное число $(a-4)$, знак неравенства меняется на противоположный: $x < a+4$.
Случай 3: $a - 4 = 0 \implies a = 4$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (4-4)(4+4) \implies 0 > 0$. Это неверно, решений нет.
Ответ: если $a > 4$, то $x \in (a+4, +\infty)$; если $a < 4$, то $x \in (-\infty, a+4)$; если $a = 4$, то решений нет.