Номер 35, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 35, страница 42.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Теорема Виета

1. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 8x - 263 = 0$;

2) $5x^2 - 12x - 7 = 0$.

2. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $\frac{2}{5}$ и 3;

2) $2 - \sqrt{11}$ и $2 + \sqrt{11}$.

3. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 13x + 5 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 3x - 8 = 0$.

5. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (4 - a)x + a^2 + 4a = 0$ равно 5?

Решение.

1.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

1) Для уравнения $x^2 + 8x - 263 = 0$:
Коэффициенты: $a=1, b=8, c=-263$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{8}{1} = -8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-263}{1} = -263$.
Ответ: сумма корней равна -8, произведение корней равно -263.

2) Для уравнения $5x^2 - 12x - 7 = 0$:
Коэффициенты: $a=5, b=-12, c=-7$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-12}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-7}{5} = -1.4$.
Ответ: сумма корней равна $\frac{12}{5}$, произведение корней равно $-\frac{7}{5}$.

2.

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения, то его можно составить по формуле $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) Корни $x_1 = \frac{2}{5}$ и $x_2 = 3$.
Найдем их сумму и произведение:
$x_1 + x_2 = \frac{2}{5} + 3 = \frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{17}{5}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{6}{5}$.
Составим уравнение: $x^2 - \frac{17}{5}x + \frac{6}{5} = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 5:
$5x^2 - 17x + 6 = 0$.
Ответ: $5x^2 - 17x + 6 = 0$.

2) Корни $x_1 = 2 - \sqrt{11}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{11}$.
Найдем их сумму и произведение:
$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{11}) + (2 + \sqrt{11}) = 4$.
$x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{11})(2 + \sqrt{11}) = 2^2 - (\sqrt{11})^2 = 4 - 11 = -7$.
Составим уравнение: $x^2 - 4x + (-7) = 0$, то есть $x^2 - 4x - 7 = 0$.
Коэффициенты уже целые.
Ответ: $x^2 - 4x - 7 = 0$.

3.

Дано уравнение $x^2 - 13x + 5 = 0$. По теореме Виета для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$.
$x_1 \cdot x_2 = 5$.

1) Найдем значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$.
Подставим известные значения суммы и произведения корней:
$\frac{13}{5} = 2.6$.
Ответ: $\frac{13}{5}$.

2) Найдем значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Выразим сумму квадратов через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ :
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим известные значения:
$13^2 - 2 \cdot 5 = 169 - 10 = 159$.
Ответ: 159.

4.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения $x^2 + 3x - 8 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$.
$x_1 \cdot x_2 = -8$.
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового уравнения. По условию, они на 2 больше корней исходного уравнения:
$y_1 = x_1 + 2$.
$y_2 = x_2 + 2$.
Найдем сумму и произведение новых корней:
Сумма: $S' = y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4 = -3 + 4 = 1$.
Произведение: $P' = y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = -8 + 2(-3) + 4 = -8 - 6 + 4 = -10$.
Новое квадратное уравнение имеет вид $y^2 - S'y + P' = 0$.
$y^2 - 1 \cdot y + (-10) = 0$, или $x^2 - x - 10 = 0$.
Ответ: $x^2 - x - 10 = 0$.

5.

Дано уравнение $x^2 + (4 - a)x + a^2 + 4a = 0$.
По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену, так как коэффициент при $x^2$ равен 1.
$x_1 \cdot x_2 = a^2 + 4a$.
По условию, произведение корней равно 5:
$a^2 + 4a = 5$.
Решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$:
$a^2 + 4a - 5 = 0$.
По теореме Виета для этого уравнения, корни $a_1$ и $a_2$ дают в сумме -4 и в произведении -5. Это числа -5 и 1.
$a_1 = -5$, $a_2 = 1$.
Необходимо также, чтобы исходное уравнение имело действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (4-a)^2 - 4(1)(a^2 + 4a) = 16 - 8a + a^2 - 4a^2 - 16a = -3a^2 - 24a + 16$.
Проверим найденные значения $a$:
1) При $a = 1$:
$D = -3(1)^2 - 24(1) + 16 = -3 - 24 + 16 = -11$.
Так как $D < 0$, при $a=1$ уравнение не имеет действительных корней.
2) При $a = -5$:
$D = -3(-5)^2 - 24(-5) + 16 = -3(25) + 120 + 16 = -75 + 120 + 16 = 61$.
Так как $D > 0$, при $a=-5$ уравнение имеет два различных действительных корня.
Следовательно, условию задачи удовлетворяет только значение $a = -5$.
Ответ: при $a = -5$.