Номер 25, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 25, страница 37.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1. Решите уравнение:

1) $|x - 5| = 4$; 2) $|2x - 3| = |3x + 1|$; 3) $|x - 2| = 2x - 5$.

2. Решите неравенство:

1) $|2x + 5| > 7$; 2) $|4x - 1| < x + 2$.

3. Постройте график функции $y = |x + 1| - |x - 2|$.

4. Решите уравнение $\frac{|x - 4|}{|x - 1| - 3} = 1$.

5. Определите количество корней уравнения $|3x + 1| = a - x$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $|x - 5| = 4$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 5 = 4$ или $x - 5 = -4$

$x = 4 + 5$ или $x = -4 + 5$

$x = 9$ или $x = 1$

Ответ: $1; 9$.

2) $|2x - 3| = |3x + 1|$

Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности $f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$.

$2x - 3 = 3x + 1$ или $2x - 3 = -(3x + 1)$

$2x - 3x = 1 + 3$ или $2x - 3 = -3x - 1$

$-x = 4$ или $2x + 3x = -1 + 3$

$x = -4$ или $5x = 2 \implies x = 2/5 = 0.4$

Ответ: $-4; 0.4$.

3) $|x - 2| = 2x - 5$

Данное уравнение равносильно системе, в которой правая часть должна быть неотрицательной:

$\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ x - 2 = 2x - 5 \quad \text{или} \quad x - 2 = -(2x - 5) \end{cases}$

Сначала решим неравенство: $2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$. Это область допустимых значений (ОДЗ).

Теперь решим уравнения и проверим, входят ли их корни в ОДЗ.

а) $x - 2 = 2x - 5 \implies -x = -3 \implies x = 3$. Корень $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 2.5$.

б) $x - 2 = -2x + 5 \implies 3x = 7 \implies x = 7/3$. Корень $x=7/3 \approx 2.67$ удовлетворяет условию $x \ge 2.5$.

Ответ: $7/3; 3$.

2. Решите неравенство:

1) $|2x + 5| > 7$

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a>0$) равносильно совокупности $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

$2x + 5 > 7$ или $2x + 5 < -7$

$2x > 2$ или $2x < -12$

$x > 1$ или $x < -6$

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.

2) $|4x - 1| < x + 2$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

$\begin{cases} 4x - 1 < x + 2 \\ 4x - 1 > -(x + 2) \end{cases} \implies \begin{cases} 3x < 3 \\ 4x - 1 > -x - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ 5x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -1/5 \end{cases}$

Объединяя решения системы, получаем: $-1/5 < x < 1$.

Ответ: $(-1/5; 1)$.

3. Постройте график функции $y = |x + 1| - |x - 2|$.

Для построения графика раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x = -1$ и $x = 2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. При $x < -1$ (например, $x=-2$): $x+1 < 0$ и $x-2 < 0$.
$y = -(x+1) - (-(x-2)) = -x-1+x-2 = -3$.

2. При $-1 \le x < 2$ (например, $x=0$): $x+1 \ge 0$ и $x-2 < 0$.
$y = (x+1) - (-(x-2)) = x+1+x-2 = 2x-1$.

3. При $x \ge 2$ (например, $x=3$): $x+1 > 0$ и $x-2 \ge 0$.
$y = (x+1) - (x-2) = x+1-x+2 = 3$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} -3, & \text{если } x < -1 \\ 2x-1, & \text{если } -1 \le x < 2 \\ 3, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

График состоит из трех частей:

• Луча $y=-3$ на интервале $(-\infty, -1)$.
• Отрезка прямой $y=2x-1$, соединяющего точки $(-1, 2(-1)-1) = (-1, -3)$ и $(2, 2(2)-1) = (2, 3)$.
• Луча $y=3$ на интервале $[2, +\infty)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из горизонтального луча $y=-3$ для $x < -1$, отрезка прямой $y=2x-1$ от точки $(-1, -3)$ до точки $(2, 3)$, и горизонтального луча $y=3$ для $x \ge 2$.

4. Решите уравнение $\frac{|x - 4|}{|x - 1| - 3} = 1$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$|x-1|-3 \neq 0 \implies |x-1| \neq 3$.

Это означает, что $x-1 \neq 3$ и $x-1 \neq -3$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

Теперь решаем уравнение:

$|x - 4| = |x - 1| - 3$.

Так как левая часть $|x-4|$ неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$|x - 1| - 3 \ge 0 \implies |x - 1| \ge 3$.

Это неравенство выполняется при $x - 1 \ge 3$ или $x - 1 \le -3$, то есть при $x \ge 4$ или $x \le -2$.

С учетом ОДЗ, мы ищем решения в объединении интервалов $(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \in (4, +\infty)$, то $x-4 > 0$ и $x-1 > 0$. Уравнение $|x - 4| = |x - 1| - 3$ принимает вид:

$x - 4 = (x - 1) - 3 \implies x - 4 = x - 4$.

Это верное тождество, значит, все значения $x$ из интервала $(4, +\infty)$ являются решениями.

2. Если $x \in (-\infty, -2)$, то $x-4 < 0$ и $x-1 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 4) = -(x - 1) - 3 \implies -x + 4 = -x + 1 - 3 \implies -x + 4 = -x - 2 \implies 4 = -2$.

Это неверное равенство, следовательно, в этом интервале решений нет.

Ответ: $(4; +\infty)$.

5. Определите количество корней уравнения $|3x + 1| = a - x$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решим задачу графически, определив число точек пересечения графиков функций $y = |3x + 1|$ и $y = a - x$.

1. График $y = |3x+1|$ — это V-образная линия. Вершина находится в точке, где $3x+1=0$, то есть $x = -1/3$. Координаты вершины $(-1/3, 0)$. Ветви графика — это прямые $y = 3x+1$ (при $x \ge -1/3$) и $y = -3x-1$ (при $x < -1/3$).

2. График $y = a - x$ (или $y = -x + a$) — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$ и y-пересечением в точке $(0, a)$.

3. Проанализируем количество пересечений в зависимости от положения прямой $y = a - x$.

а) Нет корней. Прямая $y = a-x$ проходит ниже вершины графика $y=|3x+1|$. Это происходит, когда значение функции $y=a-x$ в точке $x=-1/3$ меньше нуля.

$a - (-1/3) < 0 \implies a + 1/3 < 0 \implies a < -1/3$.

б) Один корень. Прямая $y = a-x$ проходит точно через вершину $(-1/3, 0)$.

$0 = a - (-1/3) \implies a = -1/3$.

в) Два корня. Прямая $y = a-x$ проходит выше вершины. В этом случае она пересекает обе ветви графика $y=|3x+1|$.

$a > -1/3$.

Ответ:

• Если $a < -1/3$, то корней нет.
• Если $a = -1/3$, то один корень.
• Если $a > -1/3$, то два корня.