Номер 18, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 18, страница 34.

Условие.

Самостоятельная работа № 18 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа

1. Используя алгоритм Евклида, найдите НОД (2261; 1955).

2. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) НОД $(n; 4n + 1) = 1$;

2) НОД $(2n; 6n + 2) = 2$.

3. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что НОК $(a; b) = 169$. Найдите $a$ и $b$.

4. Какие значения может принимать НОД $(a; b)$, если $a = 3n + 8$, $b = 3n + 13$, $n \in N$?

Решение.

1. Для нахождения Наибольшего общего делителя (НОД) чисел 2261 и 1955 воспользуемся алгоритмом Евклида, который заключается в последовательном делении с остатком.
Шаг 1: $2261 = 1 \cdot 1955 + 306$
Шаг 2: $1955 = 6 \cdot 306 + 119$
Шаг 3: $306 = 2 \cdot 119 + 68$
Шаг 4: $119 = 1 \cdot 68 + 51$
Шаг 5: $68 = 1 \cdot 51 + 17$
Шаг 6: $51 = 3 \cdot 17 + 0$
Последний ненулевой остаток является НОД исходных чисел. В данном случае это 17.
Ответ: НОД (2261; 1955) = 17.

2.
1) Докажем, что НОД$(n; 4n + 1) = 1$.
Воспользуемся свойством НОД, основанным на алгоритме Евклида: НОД$(a; b) = $ НОД$(a; b - k \cdot a)$ для любого целого $k$.
Применим это свойство: НОД$(n; 4n + 1) = $ НОД$(n; (4n + 1) - 4 \cdot n) = $ НОД$(n; 1)$.
Наибольший общий делитель любого натурального числа $n$ и числа 1 всегда равен 1. Утверждение доказано.

2) Докажем, что НОД$(2n; 6n + 2) = 2$.
Аналогично используем свойство НОД: НОД$(a; b) = $ НОД$(a; b - k \cdot a)$.
Применим это свойство: НОД$(2n; 6n + 2) = $ НОД$(2n; (6n + 2) - 3 \cdot (2n)) = $ НОД$(2n; 2)$.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), то $2n$ — это четное число, которое всегда делится на 2. Следовательно, наибольшим общим делителем чисел $2n$ и 2 является 2. Утверждение доказано.
Ответ: Оба утверждения доказаны.

3. Нам дано, что Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ равно 169. Разложим число 169 на простые множители: $169 = 13^2$.
Так как НОК$(a; b) = 169$, то числа $a$ и $b$ в своем разложении на простые множители могут содержать только множитель 13. Представим $a$ и $b$ в виде $a = 13^x$ и $b = 13^y$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.
По определению, НОК$(13^x; 13^y) = 13^{\max(x, y)}$.
Из условия задачи имеем $13^{\max(x, y)} = 13^2$, следовательно, $\max(x, y) = 2$.
Это означает, что по крайней мере один из показателей степени, $x$ или $y$, должен быть равен 2. Рассмотрим все возможные пары $(x, y)$, учитывая, что $a$ и $b$ — натуральные числа (то есть $a \ge 1, b \ge 1$, а значит $x \ge 0, y \ge 0$):
- если $x=2$, то $y$ может принимать значения 0, 1, 2. Это дает пары $(a,b)$: $(13^2, 13^0) = (169, 1)$; $(13^2, 13^1) = (169, 13)$; $(13^2, 13^2) = (169, 169)$.
- если $y=2$, то $x$ может принимать значения 0, 1 (случай $x=2$ уже рассмотрен). Это дает пары $(a,b)$: $(13^0, 13^2) = (1, 169)$; $(13^1, 13^2) = (13, 169)$.
Таким образом, все возможные пары чисел $(a, b)$ это $(1, 169)$, $(169, 1)$, $(13, 169)$, $(169, 13)$ и $(169, 169)$.
Ответ: Возможные пары чисел $(a, b)$: $(1; 169)$, $(13; 169)$, $(169; 169)$ и обратные им $(169; 1)$, $(169; 13)$.

4. Требуется найти возможные значения НОД$(a; b)$, где $a = 3n + 8$ и $b = 3n + 13$ для $n \in N$.
Пусть $d = $ НОД$(a; b) = $ НОД$(3n + 8; 3n + 13)$.
Воспользуемся свойством НОД: НОД$(x; y) = $ НОД$(x; y - x)$.
$d = $ НОД$(3n + 8; (3n + 13) - (3n + 8)) = $ НОД$(3n + 8; 5)$.
Из этого следует, что $d$ должен быть делителем числа 5. Натуральные делители числа 5 — это 1 и 5. Значит, НОД$(a; b)$ может принимать только эти два значения.
Проверим, достигаются ли оба значения при натуральных $n$.
1. Может ли НОД$(a; b) = 5$? Это возможно, если $3n + 8$ делится на 5. Решим сравнение:
$3n + 8 \equiv 0 \pmod{5}$
$3n \equiv -8 \pmod{5}$
$3n \equiv 2 \pmod{5}$
Умножив обе части на 2 (обратный элемент к 3 по модулю 5), получим:
$n \equiv 4 \pmod{5}$.
Это означает, что НОД равен 5, если $n$ имеет вид $5k + 4$ для $k \ge 0$. Поскольку $n \in N$, $n$ может быть 4, 9, 14 и т.д. Например, при $n=4$:
$a = 3(4) + 8 = 20$, $b = 3(4) + 13 = 25$. НОД$(20; 25) = 5$. Значение 5 возможно.
2. Может ли НОД$(a; b) = 1$? Это возможно, если $3n + 8$ не делится на 5, то есть $n$ не имеет вид $5k+4$. Например, возьмем $n=1$:
$a = 3(1) + 8 = 11$, $b = 3(1) + 13 = 16$. НОД$(11; 16) = 1$. Значение 1 возможно.
Ответ: 1 и 5.