Номер 23, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 23, страница 36.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Неравенства с одной переменной.

Числовые промежутки

1. Решите неравенство:

1) $12 - 4(x - 3) > x + 6;$

2) $\frac{x+4}{3} - \frac{x+2}{6} \le 4;$

3) $8x + (x - 3)(x + 3) \ge (x + 4)^2.$

2. Равносильны ли неравенства:

1) $(x + 2)(x^2 + 1) > 0$ и $x + 2 > 0;$

2) $(x - 3)^2 > 0$ и $|x - 3| > 0;$

3) $(x - 6)x \ge x$ и $x - 6 \ge 1?$

3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+5}{x+5} > \frac{2}{5};$

2) $\frac{1}{|x - 4|} > -1;$

3) $|x^2 - 1| \le 0.$

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2x - a > 8$ является следствием неравенства $3a - x < 2$?

5. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $(a + 2)^2 x \le 0;$

2) $(a - 3)x > a^2 - 9.$

Решение.

1.

1) $12 - 4(x - 3) > x + 6$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$12 - 4x + 12 > x + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$24 - 4x > x + 6$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону, а константы — в другую:
$24 - 6 > x + 4x$
$18 > 5x$
Разделим обе части на 5:
$x < \frac{18}{5}$
$x < 3,6$
Ответ: $(-\infty; 3,6)$.

2) $\frac{x+4}{3} - \frac{x+2}{6} \le 4$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2(x+4)}{6} - \frac{x+2}{6} \le 4$
$\frac{2x+8 - (x+2)}{6} \le 4$
$\frac{2x+8 - x - 2}{6} \le 4$
$\frac{x+6}{6} \le 4$
Умножим обе части неравенства на 6 (знак не меняется, так как 6 > 0):
$x + 6 \le 24$
$x \le 24 - 6$
$x \le 18$
Ответ: $(-\infty; 18]$.

3) $8x + (x - 3)(x + 3) \ge (x + 4)^2$
Применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$8x + (x^2 - 9) \ge x^2 + 8x + 16$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$8x + x^2 - 9 - x^2 - 8x - 16 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (8x - 8x) + (-9 - 16) \ge 0$
$-25 \ge 0$
Получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

2.

1) $(x+2)(x^2 + 1) > 0$ и $x + 2 > 0$
Рассмотрим первое неравенство. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $x^2 + 1 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства $(x+2)(x^2 + 1) > 0$ на $x^2 + 1$, не меняя знака неравенства.
Получим $x+2 > 0$.
Таким образом, первое неравенство равносильно второму. Множества их решений совпадают: $x > -2$.
Ответ: Да, равносильны.

2) $(x - 3)^2 > 0$ и $|x - 3| > 0$
Решим первое неравенство. Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю, только если само число равно нулю. Неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме тех, где $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Множество решений: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Решим второе неравенство. Модуль любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю. Неравенство $|x - 3| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме тех, где $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Множество решений: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: Да, равносильны.

3) $(x - 6)x \ge x$ и $x - 6 \ge 1$
Решим первое неравенство:
$(x - 6)x - x \ge 0$
$x(x - 6 - 1) \ge 0$
$x(x - 7) \ge 0$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; 0] \cup [7; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x - 6 \ge 1$
$x \ge 7$
Решением этого неравенства является промежуток $x \in [7; +\infty)$.
Множества решений $(-\infty; 0] \cup [7; +\infty)$ и $[7; +\infty)$ не совпадают.
Ответ: Нет, не равносильны.

3.

1) $\frac{x+5}{x+5} > \frac{2}{5}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$.
Для всех $x$ из ОДЗ дробь $\frac{x+5}{x+5}$ равна 1. Неравенство принимает вид:
$1 > \frac{2}{5}$
Это верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2) $\frac{1}{|x-4|} > -1$
ОДЗ: $|x-4| \neq 0$, то есть $x \neq 4$.
Для любого $x$ из ОДЗ выражение $|x-4|$ положительно. Следовательно, левая часть неравенства $\frac{1}{|x-4|}$ также всегда положительна.
Любое положительное число больше -1. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
Ответ: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) $|x^2 - 1| \le 0$
Модуль любого выражения всегда является неотрицательной величиной, то есть $|A| \ge 0$.
Поэтому неравенство $|x^2 - 1| \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $|x^2 - 1| = 0$.
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1, x_2 = -1$.
Ответ: $\{-1, 1\}$.

4.

Неравенство $2x - a > 8$ является следствием неравенства $3a - x < 2$, если множество решений второго неравенства является подмножеством множества решений первого.
1. Решим первое неравенство относительно $x$:
$2x - a > 8$
$2x > a + 8$
$x > \frac{a+8}{2}$
Множество решений $M_1 = (\frac{a+8}{2}; +\infty)$.
2. Решим второе неравенство относительно $x$:
$3a - x < 2$
$-x < 2 - 3a$
$x > 3a - 2$
Множество решений $M_2 = (3a-2; +\infty)$.
3. Для того чтобы $M_2 \subseteq M_1$, необходимо, чтобы левая граница интервала $M_2$ была не меньше левой границы интервала $M_1$:
$3a - 2 \ge \frac{a+8}{2}$
Умножим обе части на 2:
$2(3a - 2) \ge a+8$
$6a - 4 \ge a+8$
$6a - a \ge 8+4$
$5a \ge 12$
$a \ge \frac{12}{5}$
$a \ge 2,4$
Ответ: при $a \in [2,4; +\infty)$.

5.

1) $(a+2)^2 x \le 0$
Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть $(a+2)^2$.
Случай 1: Коэффициент равен нулю.
$(a+2)^2 = 0 \Rightarrow a+2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \le 0$, то есть $0 \le 0$. Это верное неравенство для любого $x$.
При $a=-2$, решение $x \in (-\infty; +\infty)$.
Случай 2: Коэффициент больше нуля.
$(a+2)^2 > 0$ при $a+2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.
Разделим обе части неравенства на положительное число $(a+2)^2$, знак неравенства не изменится:
$x \le \frac{0}{(a+2)^2} \Rightarrow x \le 0$.
При $a \neq -2$, решение $x \in (-\infty; 0]$.
Ответ: если $a = -2$, то $x \in (-\infty; +\infty)$; если $a \neq -2$, то $x \in (-\infty; 0]$.

2) $(a - 3)x > a^2 - 9$
Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a-3)(a+3)$.
Неравенство принимает вид: $(a - 3)x > (a - 3)(a + 3)$.
Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть $(a-3)$.
Случай 1: Коэффициент больше нуля.
$a - 3 > 0 \Rightarrow a > 3$.
Делим обе части на положительное число $(a-3)$, знак неравенства сохраняется:
$x > a + 3$.
При $a > 3$, решение $x \in (a+3; +\infty)$.
Случай 2: Коэффициент меньше нуля.
$a - 3 < 0 \Rightarrow a < 3$.
Делим обе части на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства меняется на противоположный:
$x < a + 3$.
При $a < 3$, решение $x \in (-\infty; a+3)$.
Случай 3: Коэффициент равен нулю.
$a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (3 - 3)(3 + 3)$, то есть $0 > 0$. Это неверное неравенство, решений нет.
При $a = 3$, решений нет.
Ответ: если $a > 3$, то $x \in (a+3; +\infty)$; если $a < 3$, то $x \in (-\infty; a+3)$; если $a = 3$, то решений нет ($\emptyset$).