Номер 22, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 22, страница 35.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Сложение и умножение числовых неравенств.

Оценивание значения выражения

1. Верно ли утверждение:

1) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x - y > -12$;

2) если $x > 2$ и $y > 14$, то $xy > 27$;

3) если $x > 2$ и $y > 14$, то $2x + 3y > 46$;

4) если $x < 2$ и $y < 14$, то $xy < 28$;

5) если $x > 5$, то $x^2 > 25$;

6) если $x < 5$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{5}$?

2. Дано: $-5 < x < 1$. Оцените значение выражения:

1) $x - 8$;

2) $-6x$;

3) $3x - 2$;

4) $9 - 5x$.

3. Дано: $3 < x < 8$ и $2 < y < 7$. Оцените значение выражения:

1) $xy$;

2) $3x - 4y$;

3) $\frac{6y}{5x}$.

4. Оцените значение $x$, если:

1) $|y| + 15x = 15$;

2) $3|x| + |y| = 9$.

Решение.

1) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x - y > -12$
Утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Пусть $x = 3$ (что больше 2) и $y = 16$ (что больше 14). Тогда $x - y = 3 - 16 = -13$. Неравенство $-13 > -12$ является ложным, так как $-13$ меньше, чем $-12$.
Ответ: неверно.

2) если $x > 2$ и $y > 14$, то $xy > 27$
Утверждение верно. Поскольку $x > 2$ и $y > 14$, обе переменные принимают только положительные значения. Неравенства одного знака с положительными членами можно перемножать.$x > 2$$y > 14$Перемножим их почленно:$x \cdot y > 2 \cdot 14$$xy > 28$Так как $28 > 27$, то из $xy > 28$ следует, что $xy > 27$.
Ответ: верно.

3) если $x > 2$ и $y > 14$, то $2x + 3y > 46$
Утверждение верно. Используем свойства числовых неравенств. Из $x > 2$ следует $2x > 2 \cdot 2$, то есть $2x > 4$. Из $y > 14$ следует $3y > 3 \cdot 14$, то есть $3y > 42$. Теперь сложим полученные неравенства:$2x + 3y > 4 + 42$$2x + 3y > 46$
Ответ: верно.

4) если $x < 2$ и $y < 14$, то $xy < 28$
Утверждение неверно. Правило перемножения неравенств применимо только для положительных чисел, а в данном случае $x$ и $y$ могут быть отрицательными. Рассмотрим контрпример. Пусть $x = -5$ (что меньше 2) и $y = -10$ (что меньше 14). Тогда $xy = (-5) \cdot (-10) = 50$. Неравенство $50 < 28$ является ложным.
Ответ: неверно.

5) если $x > 5$, то $x^2 > 25$
Утверждение верно. В неравенстве $x > 5$ обе части положительны. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:$x^2 > 5^2$$x^2 > 25$
Ответ: верно.

6) если $x < 5$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{5}$?
Утверждение неверно. Оно было бы верным только при условии $0 < x < 5$. Однако, $x$ может быть отрицательным. Рассмотрим контрпример. Пусть $x = -1$ (что меньше 5). Тогда $\frac{1}{x} = -1$. Неравенство $-1 > \frac{1}{5}$ является ложным. Также, если $x=0$, выражение $\frac{1}{x}$ не определено.
Ответ: неверно.

---

1) $x - 8$
Используем данное неравенство $-5 < x < 1$. Вычтем 8 из каждой части неравенства:$-5 - 8 < x - 8 < 1 - 8$$-13 < x - 8 < -7$
Ответ: $-13 < x - 8 < -7$.

2) $-6x$
Используем данное неравенство $-5 < x < 1$. Умножим каждую часть на -6. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$(-5) \cdot (-6) > x \cdot (-6) > 1 \cdot (-6)$$30 > -6x > -6$Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):$-6 < -6x < 30$
Ответ: $-6 < -6x < 30$.

3) $3x - 2$
Сначала умножим неравенство $-5 < x < 1$ на 3:$3 \cdot (-5) < 3x < 3 \cdot 1$$-15 < 3x < 3$Затем вычтем 2 из каждой части:$-15 - 2 < 3x - 2 < 3 - 2$$-17 < 3x - 2 < 1$
Ответ: $-17 < 3x - 2 < 1$.

4) $9 - 5x$
Сначала оценим $-5x$. Умножим $-5 < x < 1$ на -5 и сменим знаки неравенства:$(-5) \cdot (-5) > -5x > 1 \cdot (-5)$$25 > -5x > -5$, или $-5 < -5x < 25$. Теперь прибавим 9 к каждой части:$9 - 5 < 9 - 5x < 9 + 25$$4 < 9 - 5x < 34$
Ответ: $4 < 9 - 5x < 34$.

---

1) $xy$
Даны неравенства $3 < x < 8$ и $2 < y < 7$. Все части этих неравенств положительны, поэтому их можно почленно перемножить:$3 \cdot 2 < xy < 8 \cdot 7$$6 < xy < 56$
Ответ: $6 < xy < 56$.

2) $3x - 4y$
Сначала оценим $3x$ и $-4y$ по отдельности. Из $3 < x < 8$ следует $9 < 3x < 24$. Из $2 < y < 7$ следует $2 \cdot (-4) > -4y > 7 \cdot (-4)$, то есть $-8 > -4y > -28$, или $-28 < -4y < -8$. Теперь сложим полученные неравенства:$9 + (-28) < 3x + (-4y) < 24 + (-8)$$-19 < 3x - 4y < 16$
Ответ: $-19 < 3x - 4y < 16$.

3) $\frac{6y}{5x}$
Оценим числитель $6y$ и знаменатель $5x$. Из $2 < y < 7$ следует $12 < 6y < 42$. Из $3 < x < 8$ следует $15 < 5x < 40$. Так как числитель и знаменатель положительны, для нахождения границ дроби разделим наименьшее значение числителя на наибольшее знаменателя и наибольшее числителя на наименьшее знаменателя:$\frac{12}{40} < \frac{6y}{5x} < \frac{42}{15}$$\frac{3}{10} < \frac{6y}{5x} < \frac{14}{5}$
Ответ: $\frac{3}{10} < \frac{6y}{5x} < \frac{14}{5}$.

---

1) $|y| + 15x = 15$
Выразим $x$ из данного уравнения:$15x = 15 - |y|$$x = \frac{15 - |y|}{15} = 1 - \frac{|y|}{15}$По определению модуль любого числа — величина неотрицательная: $|y| \ge 0$. Отсюда $-\frac{|y|}{15} \le 0$. Прибавив 1 к обеим частям, получим: $1 - \frac{|y|}{15} \le 1$. Таким образом, $x \le 1$. Так как нет ограничений на $y$, $|y|$ может быть сколь угодно большим, поэтому $x$ не ограничен снизу.
Ответ: $x \le 1$.

2) $3|x| + |y| = 9$
Выразим $3|x|$ из уравнения: $3|x| = 9 - |y|$. Мы знаем, что $|y| \ge 0$. Следовательно, $-|y| \le 0$, и $9 - |y| \le 9$. Получаем неравенство:$3|x| \le 9$Разделим обе части на 3:$|x| \le 3$Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.