Номер 16, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 16, страница 33.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Делимость нацело и её свойства

1. Числа $k$ и $p$ таковы, что $k : 4$, $p : 9$. Докажите, что $(9k + 4p) : 36$.

2. Числа $a$ и $b$ таковы, что значение каждого из выражений $a - 5$ и $b + 21$ кратно 13. Докажите, что значение выражения $a - b$ кратно 13.

3. Решите в целых числах уравнение $2xy - 4x + 2y - y^2 = 3$.

4. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + \dots + 10^n$ кратно 11.

Решение.

1. По условию число $k$ делится нацело на 4, а число $p$ делится нацело на 9. Это можно записать в виде $k = 4m$ и $p = 9n$, где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Подставим эти выражения в $9k + 4p$:
$9k + 4p = 9 \cdot (4m) + 4 \cdot (9n) = 36m + 36n$.
Вынесем общий множитель 36 за скобки:
$36m + 36n = 36(m + n)$.
Так как $m$ и $n$ — целые числа, то их сумма $(m+n)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $36(m+n)$ делится нацело на 36.
Таким образом, доказано, что $(9k + 4p)$ делится на 36.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2. По условию, выражения $a-5$ и $b+21$ кратны 13. Это означает, что существуют такие целые числа $m$ и $n$, что:
$a - 5 = 13m$
$b + 21 = 13n$
Выразим $a$ и $b$ из этих уравнений:
$a = 13m + 5$
$b = 13n - 21$
Теперь найдем разность $a-b$:
$a - b = (13m + 5) - (13n - 21) = 13m + 5 - 13n + 21 = 13m - 13n + 26$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 13, и вынесем его за скобки:
$a - b = (13m - 13n) + 26 = 13(m - n) + 13 \cdot 2 = 13(m - n + 2)$.
Так как $m$ и $n$ — целые числа, то выражение $(m-n+2)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $13(m-n+2)$ делится нацело на 13.
Таким образом, доказано, что $a-b$ кратно 13.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3. Дано уравнение $2xy - 4x + 2y - y^2 = 3$. Преобразуем его, чтобы решить в целых числах.
Перенесем все члены в одну сторону и умножим на -1:
$y^2 - 2y - 2xy + 4x + 3 = 0$.
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной $y$:
$y^2 - (2 + 2x)y + (4x + 3) = 0$.
Для того чтобы уравнение имело целые решения для $y$, его дискриминант $D$ должен быть полным квадратом неотрицательного целого числа.
$D = (-(2+2x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4x+3) = 4(1+x)^2 - 4(4x+3) = 4((1+2x+x^2) - (4x+3)) = 4(x^2 - 2x - 2)$.
Чтобы $D$ был полным квадратом, выражение $x^2 - 2x - 2$ также должно быть полным квадратом. Пусть $x^2 - 2x - 2 = k^2$ для некоторого целого $k \ge 0$.
Выделим полный квадрат для выражения с $x$:
$(x^2 - 2x + 1) - 3 = k^2$
$(x-1)^2 - k^2 = 3$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов:
$(x-1-k)(x-1+k) = 3$.
Поскольку $x$ и $k$ — целые числа, то $(x-1-k)$ и $(x-1+k)$ являются целыми делителями числа 3. Также заметим, что $(x-1+k) \ge (x-1-k)$. Возможны следующие пары делителей: (1, 3) и (-3, -1).
Рассмотрим два случая:
1) $\begin{cases} x-1-k = 1 \\ x-1+k = 3 \end{cases}$. Сложив эти два уравнения, получим $2(x-1) = 4$, откуда $x-1=2$ и $x=3$. Подставив $x=3$ в первое уравнение, найдем $k$: $3-1-k=1 \Rightarrow 2-k=1 \Rightarrow k=1$.
2) $\begin{cases} x-1-k = -3 \\ x-1+k = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x-1) = -4$, откуда $x-1=-2$ и $x=-1$. Подставив $x=-1$ в первое уравнение: $-1-1-k=-3 \Rightarrow -2-k=-3 \Rightarrow k=1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле корней квадратного уравнения $y = \frac{2+2x \pm \sqrt{D}}{2} = 1+x \pm \sqrt{x^2-2x-2} = 1+x \pm k$.
Для случая 1 ($x=3, k=1$):
$y = 1+3 \pm 1$. Отсюда $y_1 = 4+1 = 5$ и $y_2 = 4-1 = 3$. Получаем две пары решений: $(3, 5)$ и $(3, 3)$.
Для случая 2 ($x=-1, k=1$):
$y = 1+(-1) \pm 1 = 0 \pm 1$. Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$. Получаем еще две пары решений: $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(3, 3)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$.

4. Обозначим данное выражение как $S = 1^n + 2^n + 3^n + ... + 10^n$. Нам нужно доказать, что $S$ делится на 11, то есть $S \equiv 0 \pmod{11}$.
Рассмотрим сумму по модулю 11. Сгруппируем слагаемые парами:
$S = (1^n + 10^n) + (2^n + 9^n) + (3^n + 8^n) + (4^n + 7^n) + (5^n + 6^n)$.
Заметим, что $10 \equiv -1 \pmod{11}$, $9 \equiv -2 \pmod{11}$, $8 \equiv -3 \pmod{11}$, $7 \equiv -4 \pmod{11}$, $6 \equiv -5 \pmod{11}$.
Рассмотрим первую пару: $1^n + 10^n \equiv 1^n + (-1)^n \pmod{11}$.
Вторую пару: $2^n + 9^n \equiv 2^n + (-2)^n \pmod{11}$.
И так далее для всех пар: $k^n + (11-k)^n \equiv k^n + (-k)^n \pmod{11}$.
По условию, $n$ — нечётное натуральное число. Для любого нечётного $n$ справедливо равенство $(-a)^n = -a^n$.
Применим это свойство к каждой паре:
$1^n + (-1)^n = 1^n - 1^n = 0$.
$2^n + (-2)^n = 2^n - 2^n = 0$.
...
$5^n + (-5)^n = 5^n - 5^n = 0$.
Следовательно, сумма каждой пары сравнима с нулем по модулю 11, а значит, и вся сумма $S$ сравнима с нулем по модулю 11.
$S \equiv 0+0+0+0+0 \pmod{11}$, то есть $S \equiv 0 \pmod{11}$.
Таким образом, доказано, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + ... + 10^n$ кратно 11.

Ответ: Что и требовалось доказать.