Номер 3, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета - номер 3, страница 95.

Условие.

3. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 12x + 6 = 0$.

Не решая уравнения, найдите значение выражения $x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1$.

Решение.

Для решения этой задачи, не вычисляя корни уравнения $x^2 + 12x + 6 = 0$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + 12x + 6 = 0$ коэффициенты равны $p = 12$ и $q = 6$.

Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -12$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Теперь преобразуем выражение, значение которого нам нужно найти, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим в преобразованное выражение найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = 6 \cdot (-12) = -72$

Ответ: -72