Номер 5, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 96.

Условие.

5. Разложите на множители многочлен $x^3 + x^2 - 10x + 8$.

Решение.

Для разложения многочлена $x^3 + x^2 - 10x + 8$ на множители, найдем сначала один из его корней. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена, то есть числа 8.

Выпишем все целые делители числа 8: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Теперь будем подставлять эти значения в многочлен, чтобы найти корень. Обозначим многочлен как $P(x) = x^3 + x^2 - 10x + 8$.

Проверим значение $x=1$:

$P(1) = 1^3 + 1^2 - 10 \cdot 1 + 8 = 1 + 1 - 10 + 8 = 0$.

Так как $P(1) = 0$, то $x=1$ является корнем многочлена. Это означает, что многочлен делится на двучлен $(x-1)$ без остатка.

Разделим многочлен $x^3 + x^2 - 10x + 8$ на $(x-1)$ (например, с помощью деления столбиком), чтобы найти частное.

$(x^3 + x^2 - 10x + 8) : (x - 1) = x^2 + 2x - 8$.

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде произведения:

$x^3 + x^2 - 10x + 8 = (x - 1)(x^2 + 2x - 8)$.

Теперь осталось разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 8$. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.

Зная корни, можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$.

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$x^3 + x^2 - 10x + 8 = (x - 1)(x - 2)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 1)(x - 2)(x + 4)$.