Номер 5, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 5, страница 97.

Условие.

5. Решите уравнение $(\sqrt{x}-6)(2x^2-x-15)=0.$

Решение.

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю: $(\sqrt{x}-6)(2x^2-x-15)=0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а все выражения в уравнении при этом определены.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствует квадратный корень $\sqrt{x}$, который определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю с учетом ОДЗ.

1. Решим первое уравнение:
$\sqrt{x} - 6 = 0$
$\sqrt{x} = 6$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 6^2$
$x = 36$
Проверяем, соответствует ли корень ОДЗ: $36 \ge 0$. Корень подходит.

2. Решим второе уравнение:
$2x^2 - x - 15 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-15$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
- Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$, следовательно, является решением исходного уравнения.
- Корень $x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию $-2.5 \ge 0$, следовательно, является посторонним корнем.

Объединив все подходящие корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $3; 36$.