Номер 7, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Вариант 1. Контрольные работы - номер 7, страница 97.
№7 (с. 97)
Условие. №7 (с. 97)
скриншот условия

7. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2 + 2(a + 6)x + 24 = 0$ имеет два различных корня?
Решение. №7 (с. 97)
Рассмотрим уравнение $ax^2 + 2(a+6)x + 24 = 0$. Чтобы оно имело два различных корня, необходимо рассмотреть два аспекта: является ли уравнение квадратным и какой у него дискриминант.
1. Сначала проверим случай, когда уравнение не является квадратным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$.
Подставим $a = 0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 + 2(0+6)x + 24 = 0$
$12x + 24 = 0$
$12x = -24$
$x = -2$
При $a=0$ уравнение становится линейным и имеет только один корень. Это не удовлетворяет условию задачи, согласно которому корней должно быть два. Следовательно, $a \neq 0$.
2. Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).
Найдем дискриминант уравнения $ax^2 + 2(a+6)x + 24 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=2(a+6)$, $C=24$.
Поскольку коэффициент $B$ является четным, удобнее вычислить четверть дискриминанта $D_1 = (\frac{B}{2})^2 - AC$. Условие $D > 0$ эквивалентно условию $D_1 > 0$.
$D_1 = (a+6)^2 - a \cdot 24$
Решим неравенство $D_1 > 0$:
$(a+6)^2 - 24a > 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 12a + 36 - 24a > 0$
$a^2 - 12a + 36 > 0$
Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:
$(a-6)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-6)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $a-6=0$, то есть при $a=6$.
Следовательно, строгое неравенство $(a-6)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме $a=6$.
Объединим условия, полученные в пунктах 1 и 2:
Для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, параметр $a$ не должен быть равен 0 и не должен быть равен 6.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 97 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 97), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.