Номер 7, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 7, страница 97.

Условие.

7. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2 + 2(a + 6)x + 24 = 0$ имеет два различных корня?

Решение.

Рассмотрим уравнение $ax^2 + 2(a+6)x + 24 = 0$. Чтобы оно имело два различных корня, необходимо рассмотреть два аспекта: является ли уравнение квадратным и какой у него дискриминант.

1. Сначала проверим случай, когда уравнение не является квадратным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + 2(0+6)x + 24 = 0$

$12x + 24 = 0$

$12x = -24$

$x = -2$

При $a=0$ уравнение становится линейным и имеет только один корень. Это не удовлетворяет условию задачи, согласно которому корней должно быть два. Следовательно, $a \neq 0$.

2. Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Найдем дискриминант уравнения $ax^2 + 2(a+6)x + 24 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=2(a+6)$, $C=24$.

Поскольку коэффициент $B$ является четным, удобнее вычислить четверть дискриминанта $D_1 = (\frac{B}{2})^2 - AC$. Условие $D > 0$ эквивалентно условию $D_1 > 0$.

$D_1 = (a+6)^2 - a \cdot 24$

Решим неравенство $D_1 > 0$:

$(a+6)^2 - 24a > 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 12a + 36 - 24a > 0$

$a^2 - 12a + 36 > 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:

$(a-6)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-6)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $a-6=0$, то есть при $a=6$.

Следовательно, строгое неравенство $(a-6)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме $a=6$.

Объединим условия, полученные в пунктах 1 и 2:

Для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, параметр $a$ не должен быть равен 0 и не должен быть равен 6.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$.