Номер 6, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними - номер 6, страница 98.

Условие.

6. Докажите, что множества $C = \{x \mid x = 9k - 7, k \in \mathbb{Z}\}$ и $D = \{x \mid x = 9n + 2, n \in \mathbb{Z}\}$ равны.

Решение.

Для того чтобы доказать, что множества $C = \{x | x = 9k - 7, k \in \mathbb{Z}\}$ и $D = \{x | x = 9n + 2, n \in \mathbb{Z}\}$ равны, необходимо доказать, что каждое множество является подмножеством другого. Это означает, что мы должны доказать два утверждения: $C \subseteq D$ (каждый элемент $C$ принадлежит $D$) и $D \subseteq C$ (каждый элемент $D$ принадлежит $C$).

1. Доказательство того, что $C \subseteq D$

Возьмём произвольный элемент $x$ из множества $C$. По определению множества $C$, это означает, что существует такое целое число $k$ ($k \in \mathbb{Z}$), для которого выполняется равенство:

$x = 9k - 7$

Наша цель — показать, что этот же элемент $x$ можно представить в виде, который соответствует определению множества $D$, то есть в виде $9n + 2$ для некоторого целого числа $n$. Для этого преобразуем выражение для $x$:

$x = 9k - 7 = 9k - 9 + 2 = 9(k - 1) + 2$

Введём новую переменную $n = k - 1$. Поскольку $k$ является целым числом, то и $n$ (как разность двух целых чисел) также является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы показали, что любой элемент $x$ из множества $C$ может быть записан в виде $x = 9n + 2$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это по определению означает, что $x$ принадлежит множеству $D$. Так как $x$ был выбран произвольно, это доказывает, что $C \subseteq D$.

2. Доказательство того, что $D \subseteq C$

Теперь возьмём произвольный элемент $y$ из множества $D$. По определению множества $D$, это означает, что существует такое целое число $n$ ($n \in \mathbb{Z}$), для которого выполняется равенство:

$y = 9n + 2$

Наша цель — показать, что этот же элемент $y$ можно представить в виде, который соответствует определению множества $C$, то есть в виде $9k - 7$ для некоторого целого числа $k$. Для этого преобразуем выражение для $y$:

$y = 9n + 2 = 9n + 9 - 7 = 9(n + 1) - 7$

Введём новую переменную $k = n + 1$. Поскольку $n$ является целым числом, то и $k$ (как сумма двух целых чисел) также является целым числом ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы показали, что любой элемент $y$ из множества $D$ может быть записан в виде $y = 9k - 7$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это по определению означает, что $y$ принадлежит множеству $C$. Так как $y$ был выбран произвольно, это доказывает, что $D \subseteq C$.

Поскольку мы доказали оба включения, $C \subseteq D$ и $D \subseteq C$, мы можем заключить, что множества $C$ и $D$ равны.

Ответ: Равенство множеств $C$ и $D$ доказано.