Номер 4, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 2. Контрольные работы - номер 4, страница 99.

Условие.

4. Упростите выражение

$\frac{a+3}{4a+4} - \frac{a+1}{4a-4} - \frac{a}{1-a^2}$

Решение.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $4a + 4 = 4(a+1)$.

Знаменатель второй дроби: $4a - 4 = 4(a-1)$.

Знаменатель третьей дроби: $1 - a^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить как $(1-a)(1+a)$. Для удобства приведения к общему знаменателю, вынесем минус за скобки: $-(a-1)(a+1)$.

Теперь перепишем исходное выражение:

$\frac{a+3}{4(a+1)} - \frac{a+1}{4(a-1)} - \frac{a}{(1-a)(1+a)} = \frac{a+3}{4(a+1)} - \frac{a+1}{4(a-1)} - \frac{a}{-(a-1)(a+1)}$

Минус в знаменателе третьей дроби можно вынести перед дробью, изменив знак:

$\frac{a+3}{4(a+1)} - \frac{a+1}{4(a-1)} + \frac{a}{(a-1)(a+1)}$

Теперь видно, что наименьший общий знаменатель для всех трех дробей равен $4(a-1)(a+1)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-1)$, второй — на $(a+1)$, и третьей — на $4$.

$\frac{(a+3)(a-1)}{4(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{4(a-1)(a+1)} + \frac{4a}{4(a-1)(a+1)}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их числители:

$\frac{(a+3)(a-1) - (a+1)^2 + 4a}{4(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a+3)(a-1) = a^2 - a + 3a - 3 = a^2 + 2a - 3$

$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим эти выражения обратно в числитель:

$\frac{(a^2 + 2a - 3) - (a^2 + 2a + 1) + 4a}{4(a-1)(a+1)}$

Важно не ошибиться со знаками при раскрытии скобок, перед которыми стоит минус:

$\frac{a^2 + 2a - 3 - a^2 - 2a - 1 + 4a}{4(a-1)(a+1)}$

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - a^2) + (2a - 2a + 4a) + (-3 - 1) = 0 + 4a - 4 = 4a - 4$

Выражение принимает вид:

$\frac{4a - 4}{4(a-1)(a+1)}$

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(a - 1)}{4(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $4(a-1)$ (при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$):

$\frac{1}{a+1}$

Ответ: $\frac{1}{a+1}$