Номер 3, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 2. Контрольные работы - номер 3, страница 100.

Условие.

3. Упростите выражение

$( - \frac{3x^4}{y^7} )^5 : ( \frac{9x^6}{y^8} )^3$

Решение.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \left(-\frac{3x^4}{y^7}\right)^5 : \left(\frac{9x^6}{y^8}\right)^3 $$

1. Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень, используя свойства $ (a/b)^n = a^n/b^n $ и $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Для первой дроби:

$$ \left(-\frac{3x^4}{y^7}\right)^5 = \frac{(-3)^5 \cdot (x^4)^5}{(y^7)^5} = \frac{-243x^{20}}{y^{35}} $$

Для второй дроби:

$$ \left(\frac{9x^6}{y^8}\right)^3 = \frac{9^3 \cdot (x^6)^3}{(y^8)^3} = \frac{729x^{18}}{y^{24}} $$

2. Теперь выполним деление полученных выражений. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$$ -\frac{243x^{20}}{y^{35}} : \frac{729x^{18}}{y^{24}} = -\frac{243x^{20}}{y^{35}} \cdot \frac{y^{24}}{729x^{18}} $$

3. Перемножим дроби и сократим полученное выражение. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$$ -\frac{243 \cdot x^{20} \cdot y^{24}}{729 \cdot x^{18} \cdot y^{35}} = -\frac{243}{729} \cdot \frac{x^{20}}{x^{18}} \cdot \frac{y^{24}}{y^{35}} $$

Сократим числовую часть. Заметим, что $ 729 = 3 \cdot 243 $.

$$ \frac{243}{729} = \frac{1}{3} $$

Сократим степени переменных по правилу $ a^m/a^n = a^{m-n} $.

$$ \frac{x^{20}}{x^{18}} = x^{20-18} = x^2 $$

$$ \frac{y^{24}}{y^{35}} = y^{24-35} = y^{-11} = \frac{1}{y^{11}} $$

4. Соберем все части вместе, чтобы получить окончательный результат.

$$ -\frac{1}{3} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y^{11}} = -\frac{x^2}{3y^{11}} $$

Ответ: $ -\frac{x^2}{3y^{11}} $