Номер 1, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 2. Контрольные работы - номер 1, страница 101.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $\frac{16}{x^2 - 64} - \frac{x}{x - 8} = -1$;

2) $\frac{x}{x - 6} - \frac{36}{x^2 - 6x} = 0$.

Решение.

1) $\frac{16}{x^2 - 64} - \frac{x}{x - 8} = -1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$x^2 - 64 \neq 0 \Rightarrow (x - 8)(x + 8) \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$ и $x \neq -8$.

$x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 8$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$:

$\frac{16}{(x - 8)(x + 8)} - \frac{x(x + 8)}{(x - 8)(x + 8)} = -1$

Объединим дроби в левой части:

$\frac{16 - x(x + 8)}{x^2 - 64} = -1$

$\frac{16 - x^2 - 8x}{x^2 - 64} = -1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 64)$, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$16 - x^2 - 8x = -1 \cdot (x^2 - 64)$

$16 - x^2 - 8x = -x^2 + 64$

Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения:

$16 - 8x = 64$

Решим полученное линейное уравнение:

$-8x = 64 - 16$

$-8x = 48$

$x = \frac{48}{-8}$

$x = -6$

Полученный корень $x = -6$ входит в область допустимых значений.

Ответ: $-6$

2) $\frac{x}{x - 6} - \frac{36}{x^2 - 6x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

$x^2 - 6x \neq 0 \Rightarrow x(x - 6) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 6$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 6$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 6)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x - 6)} - \frac{36}{x(x - 6)} = 0$

$\frac{x^2 - 36}{x(x - 6)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю уже учтено в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 36 = 0$

$x^2 = 36$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 6$).

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-6$