Номер 2, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 2. Контрольные работы - номер 2, страница 101.

Условие.

2. Моторная лодка проплыла 20 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 2 ч 15 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

Решение.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(18 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(18 - x)$ км/ч.

Лодка проплыла 20 км по течению и 20 км против течения. Время, затраченное на путь по течению, равно $\frac{20}{18+x}$ часов. Время, затраченное на путь против течения, равно $\frac{20}{18-x}$ часов.

Общее время в пути составляет 2 ч 15 мин. Переведем это время в часы: $2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ часа.

Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $\frac{20}{18+x} + \frac{20}{18-x} = \frac{9}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(18+x)(18-x) = 18^2 - x^2 = 324 - x^2$. ОДЗ: $x \ne \pm 18$. $\frac{20(18-x) + 20(18+x)}{(18+x)(18-x)} = \frac{9}{4}$

Упростим числитель: $\frac{360 - 20x + 360 + 20x}{324 - x^2} = \frac{9}{4}$ $\frac{720}{324 - x^2} = \frac{9}{4}$

Решим полученную пропорцию: $9 \cdot (324 - x^2) = 720 \cdot 4$ $9(324 - x^2) = 2880$

Разделим обе части уравнения на 9: $324 - x^2 = \frac{2880}{9}$ $324 - x^2 = 320$

Найдем $x^2$: $x^2 = 324 - 320$ $x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Поскольку скорость течения реки является положительной величиной, корень $x = -2$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.