Номер 5, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 2. Контрольные работы - номер 5, страница 101.

Условие.

5. Найдите значение выражения:

1) $8^{-2} - \left(\frac{16}{3}\right)^{-1};$

2) $\frac{8^{-4} \cdot 8^{-9}}{8^{-12}};$

3) $\frac{9^{-5} \cdot 81^{-3}}{(-729)^{-4}}.$

Решение.

1) Используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$
$\left(\frac{16}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{16}$
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 64:
$\frac{1}{64} - \frac{3}{16} = \frac{1}{64} - \frac{3 \cdot 4}{16 \cdot 4} = \frac{1}{64} - \frac{12}{64} = \frac{1-12}{64} = -\frac{11}{64}$
Ответ: $-\frac{11}{64}$

2) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Сначала упростим числитель:
$8^{-4} \cdot 8^{-9} = 8^{-4 + (-9)} = 8^{-13}$
Теперь выполним деление:
$\frac{8^{-13}}{8^{-12}} = 8^{-13 - (-12)} = 8^{-13+12} = 8^{-1}$
Вычислим значение:
$8^{-1} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

3) Представим все числа в выражении как степени с одним основанием, например, 3 или 9. Удобнее использовать основание 9.
$81 = 9^2$
$729 = 9^3$
Так как в знаменателе степень четная (показатель $-4$), то знак минус можно опустить: $(-a)^{2k} = a^{2k}$, следовательно, $(-729)^{-4} = 729^{-4}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{9^{-5} \cdot (9^2)^{-3}}{(9^3)^{-4}}$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{9^{-5} \cdot 9^{2 \cdot (-3)}}{9^{3 \cdot (-4)}} = \frac{9^{-5} \cdot 9^{-6}}{9^{-12}}$
Теперь используем свойства умножения и деления степеней:
$\frac{9^{-5 + (-6)}}{9^{-12}} = \frac{9^{-11}}{9^{-12}} = 9^{-11 - (-12)} = 9^{-11+12} = 9^1 = 9$
Ответ: $9$