Номер 4, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 2. Контрольные работы - номер 4, страница 102.
№4 (с. 102)
Условие. №4 (с. 102)
скриншот условия

4. Решите в натуральных числах уравнение $x^2 - 4y = 31$.
Решение. №4 (с. 102)
Дано уравнение $x^2 - 4y = 31$, которое необходимо решить в натуральных числах, то есть $x, y \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$).
Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:
$x^2 = 4y + 31$
Проанализируем это равенство с помощью теории сравнений по модулю 4. Правая часть $4y + 31$ состоит из двух слагаемых.
Первое слагаемое, $4y$, очевидно делится на 4 без остатка, то есть $4y \equiv 0 \pmod{4}$.
Второе слагаемое, 31, при делении на 4 даёт в остатке 3, так как $31 = 4 \cdot 7 + 3$. Таким образом, $31 \equiv 3 \pmod{4}$.
Следовательно, вся правая часть уравнения при делении на 4 будет давать остаток 3:
$4y + 31 \equiv 0 + 3 \equiv 3 \pmod{4}$
Поскольку левая часть уравнения равна правой, то $x^2$ также должен давать остаток 3 при делении на 4:
$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$
Теперь проверим, какие остатки при делении на 4 может давать квадрат любого натурального числа $x$.
1. Если $x$ — чётное число, то его можно представить как $x = 2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $x^2 = (2k)^2 = 4k^2$. В этом случае $x^2$ делится на 4 нацело, то есть $x^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
2. Если $x$ — нечётное число, то его можно представить как $x = 2k - 1$ для некоторого натурального $k$. Тогда $x^2 = (2k - 1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 = 4(k^2 - k) + 1$. В этом случае $x^2$ даёт остаток 1 при делении на 4, то есть $x^2 \equiv 1 \pmod{4}$.
Таким образом, квадрат любого натурального (и в общем, любого целого) числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Условие $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ невыполнимо.
Это противоречие означает, что не существует такого натурального числа $x$, которое удовлетворяло бы исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений в натуральных числах нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 102 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.