Номер 4, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 4, страница 102.

Условие.

4. Решите в натуральных числах уравнение $x^2 - 4y = 31$.

Решение.

Дано уравнение $x^2 - 4y = 31$, которое необходимо решить в натуральных числах, то есть $x, y \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$).

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:
$x^2 = 4y + 31$

Проанализируем это равенство с помощью теории сравнений по модулю 4. Правая часть $4y + 31$ состоит из двух слагаемых.
Первое слагаемое, $4y$, очевидно делится на 4 без остатка, то есть $4y \equiv 0 \pmod{4}$.
Второе слагаемое, 31, при делении на 4 даёт в остатке 3, так как $31 = 4 \cdot 7 + 3$. Таким образом, $31 \equiv 3 \pmod{4}$.
Следовательно, вся правая часть уравнения при делении на 4 будет давать остаток 3:
$4y + 31 \equiv 0 + 3 \equiv 3 \pmod{4}$

Поскольку левая часть уравнения равна правой, то $x^2$ также должен давать остаток 3 при делении на 4:
$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$

Теперь проверим, какие остатки при делении на 4 может давать квадрат любого натурального числа $x$.
1. Если $x$ — чётное число, то его можно представить как $x = 2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $x^2 = (2k)^2 = 4k^2$. В этом случае $x^2$ делится на 4 нацело, то есть $x^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
2. Если $x$ — нечётное число, то его можно представить как $x = 2k - 1$ для некоторого натурального $k$. Тогда $x^2 = (2k - 1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 = 4(k^2 - k) + 1$. В этом случае $x^2$ даёт остаток 1 при делении на 4, то есть $x^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Таким образом, квадрат любого натурального (и в общем, любого целого) числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Условие $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ невыполнимо.
Это противоречие означает, что не существует такого натурального числа $x$, которое удовлетворяло бы исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений в натуральных числах нет.